上海大学 2025年数学分析第0题

当 $(x,y)\neq(0,0)$ 时，使用商的求导法则计算偏导数。 对 $x$ 求偏导： $$f_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{xy^2}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)=\frac{y^2\sqrt{x^2+y^2}-xy^2\cdot\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}}{x^2+y^2}=\frac{y^2(x^2+y^2)-x^2y^2}{(x^2+y^2)^{3/2}}=\frac{y^4}{(x^2+y^2)^{3/2}}.$$ 对 $y$ 求偏导： $$f_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{xy^2}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)=\frac{2xy\sqrt{x^2+y^2}-xy^2\cdot\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}}{x^2+y^2}=\frac{2xy(x^2+y^2)-xy^3}{(x^2+y^2)^{3/2}}=\frac{2x^3y+xy^3}{(x^2+y^2)^{3/2}}.$$

当 $(x,y)=(0,0)$ 时，利用偏导数的定义计算。 对 $x$ 的偏导： $$f_x(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{0-0}{h}=0.$$ 对 $y$ 的偏导： $$f_y(0,0)=\lim_{k\to0}\frac{f(0,k)-f(0,0)}{k}=\lim_{k\to0}\frac{0-0}{k}=0.$$

综合以上结果，得到偏导数的分段表达式： $$f_x(x,y)=\begin{cases}\frac{y^4}{(x^2+y^2)^{3/2}}, & (x,y)\neq(0,0),\\0, & (x,y)=(0,0),\end{cases}$$ $$f_y(x,y)=\begin{cases}\frac{2x^3y+xy^3}{(x^2+y^2)^{3/2}}, & (x,y)\neq(0,0),\\0, & (x,y)=(0,0).\end{cases}$$

考虑极限 $\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)$。利用不等式放缩： $$|f(x,y)|=\frac{|x|y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}\le\frac{\sqrt{x^2+y^2}\cdot y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}=y^2\to0.$$ 因此 $\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0=f(0,0)$，故 $f$ 在原点连续。

若 $f$ 在原点可微，则需满足： $$\frac{f(\Delta x,\Delta y)-f(0,0)-f_x(0,0)\Delta x-f_y(0,0)\Delta y}{\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}}\to0\quad(\Delta x,\Delta y)\to(0,0).$$ 代入 $f(0,0)=0$，$f_x(0,0)=f_y(0,0)=0$，得： $$\frac{\Delta x(\Delta y)^2}{(\Delta x^2+\Delta y^2)^{3/2}}\to0.$$ 取路径 $\Delta y=\Delta x$，则上式变为： $$\frac{\Delta x\cdot\Delta x^2}{(2\Delta x^2)^{3/2}}=\frac{\Delta x^3}{2^{3/2}|\Delta x|^3}=\frac{1}{2^{3/2}}\cdot\frac{\Delta x}{|\Delta x|}.$$ 当 $\Delta x\to0$ 时，该极限不存在（因为 $\frac{\Delta x}{|\Delta x|}$ 在 $\Delta x>0$ 时为 $1$，$\Delta x<0$ 时为 $-1$），所以 $f$ 在原点不可微。