上海大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
二．证明题．前 6 道题每题 15 分，最后 1 道 20 分，共 110 分．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确已知条件与目标
已知函数 \( f(x) \) 在闭区间 \([a,b]\) 上连续，且对任意 \( x \in [a,b] \) 有 \( f(x) > 0 \)。需要证明存在正数 \( m > 0 \)，使得对所有 \( x \in [a,b] \) 成立 \( f(x) \ge m \)。
公式：无
提示：注意闭区间和连续性是关键条件，确保后续使用最值定理的前提成立。
步骤 2/5
目标：应用闭区间上连续函数的最值定理
由于 \( f(x) \) 在闭区间 \([a,b]\) 上连续，根据最值定理，\( f(x) \) 在 \([a,b]\) 上必能取到最小值。设最小值为 \( m = \min_{x \in [a,b]} f(x) \)，且存在某点 \( x_0 \in [a,b] \) 使得 \( f(x_0) = m \)。
公式：\( m = \min_{x \in [a,b]} f(x) \)
提示：最值定理保证最小值存在，但需要确认最小值点也在区间内。
步骤 3/5
目标：利用已知条件证明最小值大于零
由题设，对任意 \( x \in [a,b] \) 有 \( f(x) > 0 \)，特别地，在最小值点 \( x_0 \) 处有 \( f(x_0) = m > 0 \)。因此最小值 \( m \) 是一个正数。
公式：\( m = f(x_0) > 0 \)
提示：不要忽略“任意”二字，它保证了最小值点处的函数值也大于零。
步骤 4/5
目标：由最小值定义得出最终结论
根据最小值的定义，对于所有 \( x \in [a,b] \)，有 \( f(x) \ge m \)。结合上一步 \( m > 0 \)，即存在正数 \( m \) 使得 \( f(x) \ge m \) 对所有 \( x \in [a,b] \) 成立。
公式：\( \forall x \in [a,b],\ f(x) \ge m > 0 \)
提示：结论中的 \( m \) 就是最小值，不需要额外构造，直接使用即可。
步骤 5/5
目标：总结证明过程
综上，由闭区间上连续函数的最值定理和题设条件，我们证明了存在 \( m = \min_{x \in [a,b]} f(x) > 0 \)，使得 \( \forall x \in [a,b],\ f(x) \ge m \)。证毕。
公式：无
提示：证明的关键在于最值定理的应用和最小值大于零的推导。
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