上海大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
7．解答如下问题：
（1）若函数 $f(x)$ 满足以下条件：（i）函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 的邻域 $U\left(x_{0}\right)$ 连续；（ii）在 $U^{\circ}\left(x_{0}\right)$ 可导；（iii）极限 $\lim _{x \rightarrow x_{0}} f^{\prime}(x)$ 存在．证明：$f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处可导，且 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=\lim _{x \rightarrow x_{0}} f^{\prime}(x)$ ．
（2）若函数 $f(x)$ 只满足本题（1）中条件（i）和（ii），但不满足（iii），则 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 不可导，是否正确？请给出理由。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：理解条件并设定目标
已知函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 的邻域 $U(x_0)$ 内连续，在去心邻域 $U^\circ(x_0)$ 内可导，且极限 $\lim_{x \to x_0} f'(x) = A$ 存在。需要证明 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，且 $f'(x_0) = A$。
提示：注意条件中连续性和可导性的范围，以及极限存在的假设。
步骤 2/8
目标：应用拉格朗日中值定理
对任意 $x \in U^\circ(x_0)$，考虑区间 $[x_0, x]$（或 $[x, x_0]$，取决于 $x$ 与 $x_0$ 的大小）。由于 $f$ 在闭区间上连续，开区间内可导，由拉格朗日中值定理，存在 $\xi$ 介于 $x_0$ 与 $x$ 之间，使得 $f(x) - f(x_0) = f'(\xi)(x - x_0)$。
公式：拉格朗日中值定理：$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$，其中 $\xi$ 介于 $a$ 与 $b$ 之间。
提示：确保区间端点顺序正确，$\xi$ 依赖于 $x$。
步骤 3/8
目标：构造差商并取极限
由中值定理，差商 $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = f'(\xi)$。当 $x \to x_0$ 时，$\xi$ 也趋于 $x_0$（因为 $\xi$ 介于 $x_0$ 与 $x$ 之间）。因此，$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = \lim_{\xi \to x_0} f'(\xi) = A$。
公式：极限的复合：若 $\lim_{x \to x_0} \xi(x) = x_0$ 且 $\lim_{\xi \to x_0} f'(\xi)=A$，则 $\lim_{x \to x_0} f'(\xi(x)) = A$。
提示：注意 $\xi$ 依赖于 $x$，但极限过程可以传递。
步骤 4/8
目标：得出结论
由导数的定义，$f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ 存在且等于 $A$，因此 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，且 $f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} f'(x)$。
公式：导数定义：$f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$。
提示：该结论表明导数极限定理成立。
步骤 5/8
目标：分析第二问：判断命题是否正确
命题：若 $f(x)$ 只满足条件（i）和（ii），但不满足（iii），则 $f(x)$ 在 $x_0$ 不可导。这个命题不正确，因为存在反例。
提示：注意条件（iii）是充分条件而非必要条件。
步骤 6/8
目标：构造反例
考虑函数 $f(x) = \begin{cases} x^2 \sin\frac{1}{x}, & x \neq 0, \\ 0, & x = 0 \end{cases}$。该函数在 $x=0$ 处连续（因为 $\lim_{x \to 0} x^2 \sin\frac{1}{x} = 0 = f(0)$），在 $x \neq 0$ 时可导，且导数为 $f'(x) = 2x \sin\frac{1}{x} - \cos\frac{1}{x}$。但 $\lim_{x \to 0} f'(x)$ 不存在，因为 $\cos\frac{1}{x}$ 振荡。
公式：导数公式：$(x^2 \sin\frac{1}{x})' = 2x \sin\frac{1}{x} - \cos\frac{1}{x}$。
提示：注意 $\cos\frac{1}{x}$ 在 $x \to 0$ 时没有极限。
步骤 7/8
目标：验证反例的可导性
计算 $f$ 在 $x=0$ 处的导数：$f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{x^2 \sin\frac{1}{x} - 0}{x} = \lim_{x \to 0} x \sin\frac{1}{x} = 0$（因为 $|x \sin\frac{1}{x}| \leq |x| \to 0$）。因此 $f$ 在 $x=0$ 处可导，尽管 $\lim_{x \to 0} f'(x)$ 不存在。
公式：夹逼准则：$0 \leq |x \sin\frac{1}{x}| \leq |x|$。
提示：该反例说明导数极限定理的逆不成立。
步骤 8/8
目标：总结第二问
因此，原命题“若只满足（i）和（ii），则 $f(x)$ 在 $x_0$ 不可导”是错误的。实际上，即使 $\lim_{x \to x_0} f'(x)$ 不存在，$f(x)$ 仍可能在 $x_0$ 处可导。
提示：记住这个经典反例。
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