上海大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
1．若函数 $f(x)$ 为区间 $[a, b]$ 上只有有限个间断点的有界函数，证明：$f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：设定函数性质与间断点
设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有界，即存在 $M>0$ 使得 $|f(x)|\leq M$ 对一切 $x\in[a,b]$ 成立。设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的间断点集为 $D$，且 $D$ 为有限集，不妨设 $D=\{x_1,x_2,\dots,x_k\}$，其中 $a
提示：注意间断点个数有限，且函数有界是前提。
步骤 2/6
目标：构造覆盖间断点的小区间
对任意 $\varepsilon>0$，取 $\delta=\frac{\varepsilon}{8Mk}$，对每个间断点 $x_i$，构造开区间 $(x_i-\delta,x_i+\delta)$，并记这些区间与 $[a,b]$ 的交集为 $U_i$。则 $U_i$ 的长度不超过 $2\delta$，且 $U_i$ 的并集 $U=\bigcup_{i=1}^k U_i$ 的总长度不超过 $2k\delta=\frac{\varepsilon}{4M}$。
公式：$2k\delta = \frac{\varepsilon}{4M}$
提示：注意 $\delta$ 的选取要使得总长度足够小，以便后续控制振幅和。
步骤 3/6
目标：利用一致连续性处理连续部分
在闭区间 $[a,b]\setminus U$ 上，$f(x)$ 连续（因为所有间断点已被挖去），从而一致连续。于是存在 $\eta>0$，使得当 $x',x''\in[a,b]\setminus U$ 且 $|x'-x''|<\eta$ 时，有 $|f(x')-f(x'')|<\frac{\varepsilon}{2(b-a)}$。
公式：$|f(x')-f(x'')|<\frac{\varepsilon}{2(b-a)}$
提示：一致连续性的应用需要区间是闭区间，且函数连续。
步骤 4/6
目标：构造分割
现在对 $[a,b]$ 作分割 $T$：先取所有间断点 $x_i$ 以及 $x_i\pm\delta$（若在区间内）作为分点，再在 $[a,b]\setminus U$ 的每个连续区间内插入足够多的分点，使得每个小区间的长度小于 $\eta$。这样，分割 $T$ 将 $[a,b]$ 分成若干小区间，其中那些完全落在 $U$ 内的小区间（即与某个 $U_i$ 相交的小区间）的总长度不超过 $\frac{\varepsilon}{4M}$，而其余小区间（即完全在 $[a,b]\setminus U$ 内的小区间）的长度均小于 $\eta$。
提示：注意分点选取要包含间断点及其邻域边界，确保连续部分的小区间长度足够小。
步骤 5/6
目标：估计振幅和
考虑振幅：对于完全在 $[a,b]\setminus U$ 内的小区间，由于 $f$ 的振幅 $\omega_i<\frac{\varepsilon}{2(b-a)}$；对于与 $U$ 相交的小区间，振幅 $\omega_i\leq 2M$。于是，$f$ 关于分割 $T$ 的振幅和（即达布上和与下和之差）为：
\[
\sum\omega_i\Delta x_i = \sum_{\text{在}U\text{内}} \omega_i\Delta x_i + \sum_{\text{在}U\text{外}} \omega_i\Delta x_i \leq 2M \cdot \frac{\varepsilon}{4M} + \frac{\varepsilon}{2(b-a)} \cdot (b-a) = \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon.
\]
公式：$\sum\omega_i\Delta x_i \leq \varepsilon$
提示：注意振幅和的分拆：在U内部分用有界性，在U外部分用一致连续性。
步骤 6/6
目标：应用可积准则得出结论
由可积准则（达布定理），若对任意 $\varepsilon>0$，存在分割使得振幅和小于 $\varepsilon$，则函数可积。这里我们构造了这样的分割，因此 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积。
提示：可积准则的表述：函数可积当且仅当振幅和可以任意小。
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