上海大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
4．计算曲面积分
$$
\iint_{\Sigma} x^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y
$$
其中 $\Sigma$ 为曲面 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 在 $0 \leq z \leq 1$ 的部分，方向取下侧．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：确定曲面方向
曲面 $\Sigma: z = \sqrt{x^2 + y^2}$ 是圆锥面，$0 \leq z \leq 1$，取下侧。下侧意味着法向量指向下方，即与 $z$ 轴负方向成锐角。
提示：注意区分曲面的侧，下侧的法向量与z轴负方向一致。
步骤 2/6
目标：补平面形成封闭曲面
添加平面 $\Sigma_1: z = 1$，取上侧（法向量向上），与 $\Sigma$ 构成封闭曲面 $\Sigma \cup \Sigma_1$，方向为外侧。
提示：补平面时需注意方向，使封闭曲面取外侧。
步骤 3/6
目标：应用高斯公式
设 $P = x^2, Q = y, R = z$，则
$$
\frac{\partial P}{\partial x} = 2x, \quad \frac{\partial Q}{\partial y} = 1, \quad \frac{\partial R}{\partial z} = 1.
$$
高斯公式给出
$$
\iint_{\Sigma \cup \Sigma_1} P \,dy\,dz + Q \,dz\,dx + R \,dx\,dy = \iiint_V (2x + 1 + 1) \,dV = \iiint_V (2x + 2) \,dV,
$$
其中 $V$ 是圆锥体 $0 \leq z \leq 1, x^2 + y^2 \leq z^2$。
公式：高斯公式：$\iint_{\partial V} P dy dz + Q dz dx + R dx dy = \iiint_V (\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}) dV$
提示：注意高斯公式要求封闭曲面取外侧，且函数在区域内连续可微。
步骤 4/6
目标：计算三重积分
利用柱坐标：$x = r\cos\theta, y = r\sin\theta, z = z$，$0 \leq \theta \leq 2\pi, 0 \leq r \leq z, 0 \leq z \leq 1$。
$$
\iiint_V 2x \,dV = \int_0^{2\pi} \int_0^1 \int_0^z 2r\cos\theta \cdot r \,dr\,dz\,d\theta = \int_0^{2\pi} \cos\theta \,d\theta \int_0^1 \int_0^z 2r^2 \,dr\,dz = 0.
$$
$$
\iiint_V 2 \,dV = 2 \cdot \text{体积} = 2 \cdot \frac{1}{3}\pi \cdot 1^2 \cdot 1 = \frac{2\pi}{3}.
$$
所以
$$
\iint_{\Sigma \cup \Sigma_1} = \frac{2\pi}{3}.
$$
公式：柱坐标变换：$dV = r dr d\theta dz$
提示：注意积分区域：$r$ 从0到$z$，$z$从0到1。
步骤 5/6
目标：计算平面部分积分
在 $\Sigma_1: z=1$ 上，取上侧，$\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ 为正。曲面方程为 $z=1$，$x^2+y^2 \leq 1$。投影到 $xOy$ 平面，$\mathrm{d}y\mathrm{d}z = 0, \mathrm{d}z\mathrm{d}x = 0$，只有 $\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ 项。
$$
\iint_{\Sigma_1} x^2 \,dy\,dz + y \,dz\,dx + z \,dx\,dy = \iint_{x^2+y^2 \leq 1} 1 \,dx\,dy = \pi \cdot 1^2 = \pi.
$$
公式：曲面积分投影公式：$\iint_{\Sigma} R dxdy = \iint_{D_{xy}} R(x,y,z(x,y)) dxdy$
提示：注意平面取上侧时，$dxdy$ 的符号为正。
步骤 6/6
目标：计算原曲面积分
由于 $\Sigma$ 取下侧，而封闭曲面取外侧，$\Sigma$ 的下侧与封闭曲面的外侧方向相反，因此
$$
\iint_{\Sigma} = \iint_{\Sigma \cup \Sigma_1} - \iint_{\Sigma_1} = \frac{2\pi}{3} - \pi = -\frac{\pi}{3}.
$$
提示：注意方向：原曲面取下侧，而高斯公式中封闭曲面取外侧，因此原曲面积分等于封闭曲面积分减去补平面的积分，且符号需根据方向调整。
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