上海大学 2026年数学分析第11题

反常积分 $\int_{a}^{\infty} f(x,y)g(x,y)\,dx$ 关于 $y$ 在区间 $I$ 的 Abel 判别法叙述如下： 若函数 $f(x,y)$ 和 $g(x,y)$ 满足： - $f(x,y)$ 关于 $x$ 单调（即对每个固定的 $y$，$f(x,y)$ 是 $x$ 的单调函数），且关于 $y$ 一致有界，即存在常数 $M>0$，使得对任意 $x\ge a$ 和 $y\in I$，有 $|f(x,y)|\le M$； - 积分 $\int_{a}^{\infty} g(x,y)\,dx$ 关于 $y$ 在 $I$ 上一致收敛； 则反常积分 $\int_{a}^{\infty} f(x,y)g(x,y)\,dx$ 关于 $y$ 在 $I$ 上一致收敛。

考虑积分 $\int_{0}^{\infty} \frac{\cos(2x)}{x+y} e^{-xy}\,dx$，其中 $y\in[0,b]$，$b>0$。 令 $f(x,y)=\frac{e^{-xy}}{x+y}$，$g(x,y)=\cos(2x)$。 检查条件： - $f(x,y)$ 关于 $x$ 的导数 $\frac{\partial}{\partial x}f = -\frac{e^{-xy}(1+xy+y^2)}{(x+y)^2} < 0$，故 $f$ 关于 $x$ 单调递减。 - 但 $f(x,y)$ 在 $x=0$ 附近无界：$f(0,y)=1/y$，当 $y\to 0^+$ 时趋于无穷，且 $y=0$ 时 $f(x,0)=1/x$ 在 $x=0$ 处发散，因此 $f$ 在 $y\in[0,b]$ 上不一致有界。 - 积分 $\int_{0}^{\infty} \cos(2x)\,dx$ 发散（部分和 $\frac{\sin(2A)}{2}$ 无极限），故不满足一致收敛条件。 因此不能直接应用Abel判别法。

当 $y=0$ 时，积分变为 $\int_{0}^{\infty} \frac{\cos(2x)}{x}\,dx$。 考虑 $x\to 0^+$ 时，$\cos(2x)\sim 1$，因此被积函数 $\sim \frac{1}{x}$，而 $\int_{0}^{1} \frac{1}{x}\,dx$ 发散，故 $\int_{0}^{1} \frac{\cos(2x)}{x}\,dx$ 发散，从而整个积分发散。 因此，$y=0$ 时积分不收敛。

由于 $y=0$ 时积分发散，而 $y\in[0,b]$ 包含 $y=0$，因此积分不可能在 $[0,b]$ 上一致收敛（一致收敛要求每个点都收敛）。 故原积分在 $y\in[0,b]$ 上不一致收敛。