📝 上海大学 2026年数学分析真题

1．求下列极限：
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{7^{n} n!}{(3 n)^{n}}$ ，
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{3}+\frac{2}{3^{2}}+\cdots+\frac{n}{3^{n}}\right)$

2．计算积分：

$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sin x} \ln \left(\frac{1+a \sin x}{1-a \sin x}\right) \mathrm{d} x
$$

3．求解 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=2 a z$ 与 $\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}=2 a^{2} x y$ 相交区域的体积．

4．设 $\displaystyle f(x, y)=(x-y)^{2}$ ，计算曲面积分：

$$
\iint_{\Sigma} x\left(z^{2}+e^{z}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+y\left(z^{2}+e^{z}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} z+\left(z f(x, y)-2 e^{z}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y
$$

其中 $\displaystyle \Sigma$ 是 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ ，方向取上侧（或外侧）．

5．设 $\displaystyle a_{n} \geq 0, a_{n+1}-a_{n} \leq \int_{n}^{n+1} \frac{1}{t \ln ^{2} t-\sin ^{2} t} \mathrm{~d} t$ ，讨论 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 是否收敛．

6．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上非负且连续可导，证明：

$$
\left|\int_{a}^{b} f^{3}(x) \mathrm{d} x-f(a)^{2} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right| \leq 2 \max _{x \in[a, b]}\left|f^{\prime}(x)\right|\left[\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right]^{2}
$$

7．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 的邻域内连续可导， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=2$ ，求证：

$$
\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n+1} f\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right) \text { 的敛散性 }
$$

8．设 $D$ 为由 $\displaystyle y=x^{2}, y=2 x^{2}, x y=1, x y=4$ 构成的区域，证明：

$$
\int_{\partial D} \frac{f(x y)}{x} \mathrm{~d} x=-\frac{\ln 2}{3} \int_{1}^{4} f^{\prime}(x) \mathrm{d} x
$$

9．设函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在闭区间上点态收敛到 $\displaystyle f(x), f_{n}(x), f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，$\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 关于 $n$ 单调，证明： $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛到 $\displaystyle f(x)$.

10．设

$$
f(x, y)= \begin{cases}\frac{2 x y^{2}}{x^{2}+y^{4}} & (x, y) \neq(0,0) \\ 0 & (x, y)=(0,0)\end{cases}
$$

求（1）$\displaystyle f(x, y)$ 偏导数；
（2）$\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 处的方向导数；
（3）$\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 处是否可微．

11．（1）叙述反常积分 $\displaystyle \int_{a}^{\infty} f(x, y) g(x, y) \mathrm{d} x$ 关于 $y$ 在区间 $I$ 的 Abel 判别法．
（2）讨论积分

$$
\int_{0}^{\infty} \frac{\cos (2 x)}{x+y} e^{-x y} \mathrm{~d} x
$$

在 $\displaystyle y \in[0, b]$ 上是否一致收敛．