上海大学 2026年数学分析第10题
📝 题目
10．设
$$
f(x, y)= \begin{cases}\frac{2 x y^{2}}{x^{2}+y^{4}} & (x, y) \neq(0,0) \\ 0 & (x, y)=(0,0)\end{cases}
$$
求（1）$\displaystyle f(x, y)$ 偏导数；
（2）$\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 处的方向导数；
（3）$\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 处是否可微．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：计算非原点处的偏导数
当 $(x,y) \neq (0,0)$ 时，直接对 $f(x,y) = \frac{2xy^2}{x^2+y^4}$ 求偏导。
对 $x$ 求偏导：
$$ f_x(x,y) = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{2xy^2}{x^2+y^4} \right) = \frac{2y^2(x^2+y^4) - 2xy^2 \cdot 2x}{(x^2+y^4)^2} = \frac{2y^2(y^4 - x^2)}{(x^2+y^4)^2}. $$
对 $y$ 求偏导：
$$ f_y(x,y) = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{2xy^2}{x^2+y^4} \right) = \frac{4xy(x^2+y^4) - 2xy^2 \cdot 4y^3}{(x^2+y^4)^2} = \frac{4xy(x^2 - y^4)}{(x^2+y^4)^2}. $$
公式：商的求导法则：$(u/v)' = (u'v - uv')/v^2$
提示：注意分子分母的幂次，避免求导错误。
步骤 2/7
目标：计算原点处的偏导数
在 $(0,0)$ 处，利用偏导数定义：
$$ f_x(0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h,0) - f(0,0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{0}{h} = 0, $$
$$ f_y(0,0) = \lim_{k \to 0} \frac{f(0,k) - f(0,0)}{k} = \lim_{k \to 0} \frac{0}{k} = 0. $$
因此，$f_x(0,0)=0$，$f_y(0,0)=0$。
公式：偏导数定义：$f_x(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}$
提示：注意 $f(h,0)=0$，$f(0,k)=0$，所以极限为0。
步骤 3/7
目标：写出偏导数的分段表达式
综合非原点和原点处的偏导数，得到分段表达式：
$$ f_x(x,y) = \begin{cases} \frac{2y^2(y^4 - x^2)}{(x^2+y^4)^2}, & (x,y) \neq (0,0) \\ 0, & (x,y) = (0,0) \end{cases}, $$
$$ f_y(x,y) = \begin{cases} \frac{4xy(x^2 - y^4)}{(x^2+y^4)^2}, & (x,y) \neq (0,0) \\ 0, & (x,y) = (0,0) \end{cases}. $$
提示：分段函数要明确不同区域的表达式。
步骤 4/7
目标：计算原点处的方向导数
设方向向量 $\mathbf{l} = (\cos\theta, \sin\theta)$，方向导数为：
$$ \frac{\partial f}{\partial \mathbf{l}}(0,0) = \lim_{t \to 0} \frac{f(t\cos\theta, t\sin\theta) - f(0,0)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{2 t\cos\theta \cdot t^2\sin^2\theta}{t^2\cos^2\theta + t^4\sin^4\theta} \cdot \frac{1}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{2\cos\theta \sin^2\theta}{\cos^2\theta + t^2\sin^4\theta}. $$
若 $\cos\theta \neq 0$，则极限为 $\frac{2\sin^2\theta}{\cos\theta}$；若 $\cos\theta = 0$，即 $\theta = \frac{\pi}{2}$ 或 $\frac{3\pi}{2}$，则 $f(0,t)=0$，方向导数为0。
公式：方向导数定义：$\frac{\partial f}{\partial \mathbf{l}}(0,0) = \lim_{t\to0}\frac{f(t\cos\theta, t\sin\theta)-f(0,0)}{t}$
提示：注意 $\cos\theta=0$ 时，分母为 $t^2\sin^4\theta$，但分子也为0，需单独处理。
步骤 5/7
目标：写出方向导数的表达式
方向导数为：
$$ \frac{\partial f}{\partial \mathbf{l}}(0,0) = \begin{cases} \frac{2\sin^2\theta}{\cos\theta}, & \cos\theta \neq 0 \\ 0, & \cos\theta = 0 \end{cases}. $$
提示：方向导数依赖于方向，且不是线性函数。
步骤 6/7
目标：判断可微性：写出可微条件
若 $f$ 在 $(0,0)$ 可微，则需满足：
$$ \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{f(x,y) - f(0,0) - f_x(0,0)x - f_y(0,0)y}{\sqrt{x^2+y^2}} = 0. $$
代入 $f(0,0)=0$，$f_x(0,0)=f_y(0,0)=0$，得：
$$ \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{2xy^2}{(x^2+y^4)\sqrt{x^2+y^2}} = 0. $$
公式：可微定义：$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{f(x,y)-f(0,0)-f_x(0,0)x-f_y(0,0)y}{\sqrt{x^2+y^2}}=0$
提示：注意分母是 $\sqrt{x^2+y^2}$，不是 $x^2+y^4$。
步骤 7/7
目标：判断可微性：选取路径证明极限不存在
取路径 $y = \sqrt{x}$（$x>0$），则：
$$ \frac{2x \cdot x}{(x^2+x^2)\sqrt{x^2+x}} = \frac{2x^2}{2x^2 \sqrt{x^2+x}} = \frac{1}{\sqrt{x^2+x}} \to +\infty \quad (x \to 0^+). $$
因此极限不为0，故 $f$ 在 $(0,0)$ 处不可微。
提示：选择路径时，要使分母和分子同阶，通常取 $y^2 = x$ 或 $y = \sqrt{x}$。
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