上海大学 2026年数学分析第9题
📝 题目
9．设函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在闭区间上点态收敛到 $\displaystyle f(x), f_{n}(x), f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，$\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 关于 $n$ 单调，证明： $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛到 $\displaystyle f(x)$.
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：设定单调性并简化问题
由于函数列 $\{f_n(x)\}$ 关于 $n$ 单调，不妨设 $f_n(x) \leq f_{n+1}(x)$（否则考虑 $-f_n(x)$）。由点态收敛，$f_n(x) \to f(x)$，且 $f_n, f$ 连续。目标是证明 $\{f_n\}$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛到 $f$。
公式：f_n(x) \leq f_{n+1}(x)
提示：单调性假设是证明的关键，注意单调递增和单调递减可以通过取负号相互转化。
步骤 2/8
目标：反证法假设不一致收敛
假设 $\{f_n\}$ 不一致收敛到 $f$，则存在 $\varepsilon_0 > 0$，对任意 $N$，存在 $n_k \geq N$ 和 $x_k \in [a,b]$，使得 $|f_{n_k}(x_k) - f(x_k)| \geq \varepsilon_0$。由单调性，$f_n(x) \leq f(x)$，故 $f(x_k) - f_{n_k}(x_k) \geq \varepsilon_0$。
公式：f(x_k) - f_{n_k}(x_k) \geq \varepsilon_0
提示：注意不一致收敛的定义：存在正数 $\varepsilon_0$，使得对任意 $N$，存在 $n \geq N$ 和 $x$ 满足 $|f_n(x)-f(x)| \geq \varepsilon_0$。
步骤 3/8
目标：选取收敛子列
由 Bolzano-Weierstrass 定理，有界数列 $\{x_k\}$ 存在收敛子列 $\{x_{k_j}\}$，记其极限为 $x_0 \in [a,b]$。为简便，仍记该子列为 $\{x_k\}$，即 $x_k \to x_0$。
提示：闭区间上的有界数列必有收敛子列，这是实数完备性的重要应用。
步骤 4/8
目标：利用 $f$ 的连续性得到局部估计
由于 $f$ 在 $x_0$ 连续，存在 $\delta > 0$，当 $|x - x_0| < \delta$ 时，$|f(x) - f(x_0)| < \varepsilon_0/4$。取 $K$ 充分大，使得当 $k \geq K$ 时，$|x_k - x_0| < \delta$，从而 $f(x_k) < f(x_0) + \varepsilon_0/4$。
公式：|f(x) - f(x_0)| < \varepsilon_0/4
提示：连续性的 $\varepsilon-\delta$ 定义要准确使用，注意 $\varepsilon_0/4$ 的选取是为了后续不等式放缩。
步骤 5/8
目标：利用 $f_n$ 在 $x_0$ 的点态收敛
由于 $f_n(x_0) \to f(x_0)$，存在 $N$，当 $n \geq N$ 时，$|f_n(x_0) - f(x_0)| < \varepsilon_0/4$，即 $f_n(x_0) > f(x_0) - \varepsilon_0/4$。取 $n_k \geq N$，则 $f_{n_k}(x_0) > f(x_0) - \varepsilon_0/4$。
公式：|f_n(x_0) - f(x_0)| < \varepsilon_0/4
提示：点态收敛意味着对每个固定的 $x$，数列 $f_n(x)$ 收敛到 $f(x)$。
步骤 6/8
目标：利用 $f_{n_k}$ 的连续性得到 $x_k$ 处的下界
由 $f_{n_k}$ 连续，存在 $\delta_k > 0$，当 $|x - x_0| < \delta_k$ 时，$|f_{n_k}(x) - f_{n_k}(x_0)| < \varepsilon_0/4$。取 $k$ 充分大使得 $|x_k - x_0| < \min\{\delta, \delta_k\}$，则 $f_{n_k}(x_k) > f_{n_k}(x_0) - \varepsilon_0/4 > f(x_0) - \varepsilon_0/2$。
公式：f_{n_k}(x_k) > f(x_0) - \varepsilon_0/2
提示：注意 $\delta_k$ 依赖于 $k$，但我们可以取 $k$ 足够大使得 $x_k$ 同时落在 $\delta$ 和 $\delta_k$ 邻域内。
步骤 7/8
目标：导出矛盾
结合 $f(x_k) < f(x_0) + \varepsilon_0/4$ 和 $f_{n_k}(x_k) > f(x_0) - \varepsilon_0/2$，得 $f(x_k) - f_{n_k}(x_k) < (f(x_0) + \varepsilon_0/4) - (f(x_0) - \varepsilon_0/2) = 3\varepsilon_0/4 < \varepsilon_0$，这与 $f(x_k) - f_{n_k}(x_k) \geq \varepsilon_0$ 矛盾。因此假设不成立，$\{f_n\}$ 一致收敛到 $f$。
公式：f(x_k) - f_{n_k}(x_k) < 3\varepsilon_0/4
提示：矛盾的关键在于 $3\varepsilon_0/4 < \varepsilon_0$，严格不等式成立。
步骤 8/8
目标：总结结论
综上所述，在题设条件下，$\{f_n(x)\}$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛到 $f(x)$。
提示：该定理是 Dini 定理的一种形式，注意条件中单调性和连续性缺一不可。
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