上海大学 2026年数学分析第2题
📝 题目
2．计算积分：
$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sin x} \ln \left(\frac{1+a \sin x}{1-a \sin x}\right) \mathrm{d} x
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：将对数差分解为两个对数之差
原积分 $I(a)=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sin x} \ln\left(\frac{1+a\sin x}{1-a\sin x}\right) dx$。利用对数性质，将被积函数中的对数分解为两个对数之差：$\ln\left(\frac{1+a\sin x}{1-a\sin x}\right)=\ln(1+a\sin x)-\ln(1-a\sin x)$。因此，$I(a)=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sin x}[\ln(1+a\sin x)-\ln(1-a\sin x)]dx$。
公式：$\ln\left(\frac{A}{B}\right)=\ln A-\ln B$
提示：注意对数定义域：$1\pm a\sin x>0$，通常$|a|<1$。
步骤 2/7
目标：变量代换 $t=\sin x$
令 $t=\sin x$，则 $x=\arcsin t$，$dx=\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}$。当 $x=0$ 时 $t=0$，$x=\frac{\pi}{2}$ 时 $t=1$。积分变为：$I(a)=\int_{0}^{1} \frac{1}{t} \ln\left(\frac{1+at}{1-at}\right) \frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}=\int_{0}^{1} \frac{\ln(1+at)-\ln(1-at)}{t\sqrt{1-t^2}}dt$。
公式：$dx=\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}$
提示：注意 $\sin x$ 在 $[0,\frac{\pi}{2}]$ 上单调，代换可行；$t=0$ 时被积函数需考虑极限。
步骤 3/7
目标：对参数 $a$ 求导，简化积分
将 $I(a)$ 视为参数 $a$ 的函数，对 $a$ 求导（在积分号内求导）：$I'(a)=\int_{0}^{1} \frac{1}{t\sqrt{1-t^2}} \left(\frac{t}{1+at}+\frac{t}{1-at}\right) dt = \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-t^2}} \left(\frac{1}{1+at}+\frac{1}{1-at}\right) dt = \int_{0}^{1} \frac{2}{\sqrt{1-t^2}(1-a^2 t^2)} dt$。
公式：$\frac{d}{da}\ln(1\pm at)=\frac{\pm t}{1\pm at}$
提示：求导后 $t$ 被约去，简化了积分；需验证积分与求导可交换（被积函数连续）。
步骤 4/7
目标：三角代换 $t=\sin\theta$
令 $t=\sin\theta$，则 $dt=\cos\theta d\theta$，$\sqrt{1-t^2}=\cos\theta$，$\theta\in[0,\frac{\pi}{2}]$。代入得：$I'(a)=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2}{\cos\theta(1-a^2\sin^2\theta)} \cos\theta d\theta = 2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{1-a^2\sin^2\theta}$。
公式：$\sqrt{1-\sin^2\theta}=\cos\theta$
提示：注意 $\cos\theta$ 在 $[0,\frac{\pi}{2}]$ 上非负，开方无需绝对值。
步骤 5/7
目标：利用已知积分公式计算 $I'(a)$
利用公式 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{1-p\sin^2\theta}=\frac{\pi}{2\sqrt{1-p}}$，其中 $p<1$。这里 $p=a^2$，所以 $I'(a)=2\cdot\frac{\pi}{2\sqrt{1-a^2}}=\frac{\pi}{\sqrt{1-a^2}}$。
公式：$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{1-p\sin^2\theta}=\frac{\pi}{2\sqrt{1-p}}$
提示：公式成立条件 $p<1$，对应 $|a|<1$；若 $|a|\ge1$ 积分发散。
步骤 6/7
目标：对 $a$ 积分得到 $I(a)$
对 $I'(a)=\frac{\pi}{\sqrt{1-a^2}}$ 积分得 $I(a)=\int \frac{\pi}{\sqrt{1-a^2}} da = \pi\arcsin a + C$。由 $I(0)=0$ 确定常数 $C$：$I(0)=\pi\arcsin 0 + C = 0$，故 $C=0$。因此 $I(a)=\pi\arcsin a$。
公式：$\int \frac{da}{\sqrt{1-a^2}}=\arcsin a + C$
提示：注意 $I(0)=0$ 是因为被积函数中 $\ln\frac{1+0}{1-0}=0$。
步骤 7/7
目标：得出原积分结果
原积分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sin x} \ln\left(\frac{1+a\sin x}{1-a\sin x}\right) dx = I(a) = \pi\arcsin a$。
提示：结果简洁，注意 $a$ 的取值范围 $|a|<1$。
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