上海大学 2026年数学分析第3题
📝 题目
3．求解 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=2 a z$ 与 $\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}=2 a^{2} x y$ 相交区域的体积．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：识别曲面方程并转化为极坐标
曲面1：$x^2+y^2=2az$，即 $z=\frac{x^2+y^2}{2a}$，是旋转抛物面。曲面2：$(x^2+y^2)^2=2a^2xy$，在极坐标下，$x=r\cos\theta$，$y=r\sin\theta$，代入得 $r^4=2a^2 r^2 \cos\theta \sin\theta$，化简为 $r^2=a^2\sin 2\theta$（$r\geq 0$），这是双纽线方程。
公式：$x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta$
提示：注意极坐标变换时，$dxdy = r dr d\theta$，不要遗漏$r$因子。
步骤 2/6
目标：确定积分区域
两曲面交线在$xOy$平面上的投影为双纽线$r^2=a^2\sin 2\theta$，要求$\sin 2\theta \geq 0$，即$\theta\in[0,\pi/2]\cup[\pi,3\pi/2]$。由对称性，只考虑第一象限（$\theta\in[0,\pi/2]$），体积乘以2。立体区域在投影内，$z$从0到$\frac{x^2+y^2}{2a}$。
提示：注意双纽线对称性，第一和第三象限形状相同，但体积计算时需考虑$z$表达式相同，因此总体积为第一象限的2倍。
步骤 3/6
目标：建立体积积分表达式
体积$V = \iint_D \frac{x^2+y^2}{2a} \, dxdy$，其中$D$为双纽线围成的区域。在极坐标下，$x^2+y^2=r^2$，$dxdy=r\,dr\,d\theta$，所以$V = \int_{\theta=0}^{\pi/2} \int_{r=0}^{a\sqrt{\sin 2\theta}} \frac{r^2}{2a} \cdot r \, dr d\theta \times 2$。
公式：$V = \iint_D z \, dxdy$，其中$z=\frac{x^2+y^2}{2a}$
提示：注意体积元素$dV = z \, dxdy$，因为$z$从0到曲面。
步骤 4/6
目标：计算内层积分（对$r$）
先计算第一象限的积分$V_1 = \int_{0}^{\pi/2} \int_{0}^{a\sqrt{\sin 2\theta}} \frac{r^3}{2a} \, dr d\theta$。对$r$积分：$\int_0^{a\sqrt{\sin 2\theta}} r^3 \, dr = \frac{1}{4} r^4 \big|_0^{a\sqrt{\sin 2\theta}} = \frac{a^4}{4} \sin^2 2\theta$。所以$V_1 = \int_{0}^{\pi/2} \frac{1}{2a} \cdot \frac{a^4}{4} \sin^2 2\theta \, d\theta = \frac{a^3}{8} \int_{0}^{\pi/2} \sin^2 2\theta \, d\theta$。
公式：$\int r^3 \, dr = \frac{r^4}{4}$
提示：注意积分上下限：$r$从0到$a\sqrt{\sin 2\theta}$，不要忘记$\sin 2\theta$非负。
步骤 5/6
目标：计算外层积分（对$\theta$）
计算$\int_{0}^{\pi/2} \sin^2 2\theta \, d\theta$。令$u=2\theta$，则$d\theta = du/2$，$\theta$从0到$\pi/2$对应$u$从0到$\pi$。于是$\int_{0}^{\pi/2} \sin^2 2\theta \, d\theta = \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} \sin^2 u \, du = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4}$。所以$V_1 = \frac{a^3}{8} \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\pi a^3}{32}$。
公式：$\int \sin^2 u \, du = \frac{u}{2} - \frac{\sin 2u}{4} + C$，或利用$\int_0^\pi \sin^2 u \, du = \frac{\pi}{2}$
提示：注意换元后积分限的变化，以及$\sin^2 u$在$[0,\pi]$上的积分值。
步骤 6/6
目标：乘以对称性得到总体积
总体积$V = 2V_1 = 2 \cdot \frac{\pi a^3}{32} = \frac{\pi a^3}{16}$。
提示：注意对称性：第一和第三象限积分结果相同，所以乘以2。不要忘记检查其他象限是否对称。
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