上海大学 2026年数学分析第4题
📝 题目
4．设 $\displaystyle f(x, y)=(x-y)^{2}$ ，计算曲面积分：
$$
\iint_{\Sigma} x\left(z^{2}+e^{z}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+y\left(z^{2}+e^{z}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} z+\left(z f(x, y)-2 e^{z}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y
$$
其中 $\displaystyle \Sigma$ 是 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ ，方向取上侧（或外侧）．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：应用高斯公式
记 $\Sigma$ 为球面 $x^2+y^2+z^2=1$，取外侧。由高斯公式，曲面积分化为三重积分：
$$I = \iiint_V \left[ \frac{\partial}{\partial x}\left( x(z^2+e^z) \right) + \frac{\partial}{\partial y}\left( y(z^2+e^z) \right) + \frac{\partial}{\partial z}\left( z f(x,y) - 2e^z \right) \right] \mathrm{d}V,$$
其中 $V$ 是球体 $x^2+y^2+z^2 \leq 1$。
公式：高斯公式：$\iint_{\Sigma} P\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q\mathrm{d}x\mathrm{d}z+R\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \iiint_V (\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})\mathrm{d}V$
提示：注意曲面取外侧，高斯公式要求封闭曲面且方向向外。
步骤 2/7
目标：计算偏导数
计算各偏导数：
$$\frac{\partial}{\partial x}\left( x(z^2+e^z) \right) = z^2+e^z,$$
$$\frac{\partial}{\partial y}\left( y(z^2+e^z) \right) = z^2+e^z,$$
$$\frac{\partial}{\partial z}\left( z f(x,y) - 2e^z \right) = f(x,y) - 2e^z.$$
提示：注意 $f(x,y)=(x-y)^2$ 与 $z$ 无关，所以对 $z$ 求导时视为常数。
步骤 3/7
目标：简化被积函数
将偏导数相加得到被积函数：
$$(z^2+e^z)+(z^2+e^z)+f(x,y)-2e^z = 2z^2 + f(x,y).$$
代入 $f(x,y)=(x-y)^2$，得
$$I = \iiint_V \left( 2z^2 + (x-y)^2 \right) \mathrm{d}V.$$
提示：合并同类项时注意 $e^z$ 项抵消。
步骤 4/7
目标：利用对称性化简 $(x-y)^2$ 的积分
由于积分区域关于坐标轴对称，有 $\iiint_V x^2 \mathrm{d}V = \iiint_V y^2 \mathrm{d}V = \iiint_V z^2 \mathrm{d}V$，且 $\iiint_V xy \mathrm{d}V = 0$（$xy$ 是奇函数）。因此
$$\iiint_V (x-y)^2 \mathrm{d}V = \iiint_V (x^2+y^2-2xy) \mathrm{d}V = \iiint_V x^2 \mathrm{d}V + \iiint_V y^2 \mathrm{d}V = 2 \iiint_V x^2 \mathrm{d}V.$$
公式：对称性：奇函数在对称区域积分为零；轮换对称性。
提示：注意 $xy$ 关于 $x$ 或 $y$ 是奇函数，区域对称，故积分为零。
步骤 5/7
目标：计算 $\iiint_V x^2 \mathrm{d}V$
利用轮换对称性，$\iiint_V x^2 \mathrm{d}V = \frac{1}{3} \iiint_V (x^2+y^2+z^2) \mathrm{d}V = \frac{1}{3} \iiint_V r^2 \mathrm{d}V$。在球坐标下，
$$\iiint_V r^2 \mathrm{d}V = \int_0^{2\pi} \mathrm{d}\theta \int_0^\pi \sin\varphi \mathrm{d}\varphi \int_0^1 r^2 \cdot r^2 \mathrm{d}r = 2\pi \cdot 2 \cdot \frac{1}{5} = \frac{4\pi}{5}.$$
所以 $\iiint_V x^2 \mathrm{d}V = \frac{1}{3} \cdot \frac{4\pi}{5} = \frac{4\pi}{15}$。
公式：球坐标变换：$\mathrm{d}V = r^2 \sin\varphi \mathrm{d}r \mathrm{d}\varphi \mathrm{d}\theta$
提示：注意 $r^2$ 的积分：$\int_0^1 r^4 \mathrm{d}r = \frac{1}{5}$。
步骤 6/7
目标：计算 $\iiint_V (x-y)^2 \mathrm{d}V$ 和 $\iiint_V 2z^2 \mathrm{d}V$
由第4步，$\iiint_V (x-y)^2 \mathrm{d}V = 2 \iiint_V x^2 \mathrm{d}V = 2 \cdot \frac{4\pi}{15} = \frac{8\pi}{15}$。
又 $\iiint_V 2z^2 \mathrm{d}V = 2 \iiint_V x^2 \mathrm{d}V = \frac{8\pi}{15}$（因为 $\iiint_V z^2 \mathrm{d}V = \iiint_V x^2 \mathrm{d}V$）。
提示：注意 $\iiint_V z^2 \mathrm{d}V$ 与 $\iiint_V x^2 \mathrm{d}V$ 相等。
步骤 7/7
目标：求和得到最终结果
将两部分相加：
$$I = \frac{8\pi}{15} + \frac{8\pi}{15} = \frac{16\pi}{15}.$$
因此，曲面积分的值为 $\boxed{\dfrac{16\pi}{15}}$。
提示：最终结果化简为最简分数。
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