上海大学 2026年数学分析第5题
📝 题目
5．设 $\displaystyle a_{n} \geq 0, a_{n+1}-a_{n} \leq \int_{n}^{n+1} \frac{1}{t \ln ^{2} t-\sin ^{2} t} \mathrm{~d} t$ ，讨论 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 是否收敛．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：分析被积函数的性质
考虑被积函数 $f(t) = \frac{1}{t \ln^2 t - \sin^2 t}$。当 $t \geq 2$ 时，$\sin^2 t \leq 1$，而 $t \ln^2 t$ 增长很快，因此分母为正。实际上，对于 $t \geq 2$，有 $t \ln^2 t \geq 2 \ln^2 2 > 1$，所以分母大于0。进一步，$\sin^2 t \leq 1$，故 $t \ln^2 t - \sin^2 t \geq t \ln^2 t - 1$。于是 $f(t) \leq \frac{1}{t \ln^2 t - 1}$。
提示：注意 $\sin^2 t$ 有界，但分母不能直接忽略 $\sin^2 t$，需放缩。
步骤 2/7
目标：进一步放缩被积函数
当 $t$ 充分大时，$t \ln^2 t - 1 \geq \frac{1}{2} t \ln^2 t$，所以 $f(t) \leq \frac{2}{t \ln^2 t}$。因此，对于充分大的 $n$，有 $\int_n^{n+1} f(t) \, dt \leq \int_n^{n+1} \frac{2}{t \ln^2 t} \, dt$。
公式：f(t) \leq \frac{2}{t \ln^2 t}
提示：放缩时需确保不等式方向正确，且 $t$ 足够大。
步骤 3/7
目标：计算放缩后的积分
计算积分：$\int \frac{2}{t \ln^2 t} \, dt = -\frac{2}{\ln t} + C$，所以 $\int_n^{n+1} \frac{2}{t \ln^2 t} \, dt = \frac{2}{\ln n} - \frac{2}{\ln (n+1)}$。
公式：\int \frac{2}{t \ln^2 t} dt = -\frac{2}{\ln t} + C
提示：注意积分限代入时，$\ln(n+1)$ 在分母，不要混淆。
步骤 4/7
目标：得到递推不等式
由题设 $a_{n+1} - a_n \leq \int_n^{n+1} f(t) \, dt$，结合放缩得 $a_{n+1} - a_n \leq \frac{2}{\ln n} - \frac{2}{\ln (n+1)}$。
公式：a_{n+1} - a_n \leq \frac{2}{\ln n} - \frac{2}{\ln (n+1)}
提示：注意不等式方向，左边是差，右边是正数。
步骤 5/7
目标：求和得到上界
对 $n$ 从 $N$ 到 $m-1$ 求和，得 $a_m - a_N \leq \frac{2}{\ln N} - \frac{2}{\ln m}$。由于 $a_n \geq 0$，有 $0 \leq a_m \leq a_N + \frac{2}{\ln N} - \frac{2}{\ln m}$。令 $m \to \infty$，得 $\frac{2}{\ln m} \to 0$，所以 $\{a_n\}$ 有上界。
公式：a_m \leq a_N + \frac{2}{\ln N}
提示：求和时注意 telescoping 性质，且 $a_N$ 固定。
步骤 6/7
目标：构造辅助数列证明收敛
令 $c_n = a_n + \frac{2}{\ln n}$，则 $c_{n+1} - c_n = a_{n+1} - a_n + \frac{2}{\ln (n+1)} - \frac{2}{\ln n} \leq 0$，所以 $c_n$ 单调递减。又 $a_n \geq 0$，$\frac{2}{\ln n} \to 0$，故 $c_n$ 有下界 $0$，因此 $c_n$ 收敛。从而 $a_n = c_n - \frac{2}{\ln n}$ 收敛。
公式：c_n = a_n + \frac{2}{\ln n}
提示：注意 $c_n$ 单调递减，需验证下界存在。
步骤 7/7
目标：得出结论
因此，数列 $\{a_n\}$ 收敛。
提示：收敛性已证，无需进一步讨论。
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