上海大学 2026年数学分析第6题
📝 题目
6．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上非负且连续可导，证明：
$$
\left|\int_{a}^{b} f^{3}(x) \mathrm{d} x-f(a)^{2} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right| \leq 2 \max _{x \in[a, b]}\left|f^{\prime}(x)\right|\left[\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right]^{2}
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：设定符号并改写被积表达式
设 $M = \max_{x \in [a,b]} |f'(x)|$。将待证不等式的左边改写为：
$$
\left| \int_a^b f^3(x) \, dx - f(a)^2 \int_a^b f(x) \, dx \right| = \left| \int_a^b f(x) \left[ f^2(x) - f^2(a) \right] dx \right|.
$$
利用平方差公式 $f^2(x) - f^2(a) = (f(x)-f(a))(f(x)+f(a))$，得：
$$
\text{左边} = \left| \int_a^b f(x)(f(x)-f(a))(f(x)+f(a)) \, dx \right|.
$$
公式：f^2(x) - f^2(a) = (f(x)-f(a))(f(x)+f(a))
提示：注意提取公因子 $f(x)$ 是化简的关键步骤。
步骤 2/5
目标：引入微分中值定理处理差值
由拉格朗日中值定理，存在 $\xi_x \in (a, x)$ 使得 $f(x)-f(a) = f'(\xi_x)(x-a)$，因此 $|f(x)-f(a)| \le M(x-a)$。代入绝对值不等式：
$$
\left| \int_a^b f(x)(f(x)-f(a))(f(x)+f(a)) \, dx \right| \le \int_a^b f(x) \cdot M(x-a) \cdot (f(x)+f(a)) \, dx.
$$
公式：|f(x)-f(a)| \le M(x-a)
提示：中值定理的余项用最大值 $M$ 控制，注意 $x-a$ 非负。
步骤 3/5
目标：采用分部积分法进行精确放缩
考虑另一种更精确的方法。令 $g(t) = f^2(t)$，则 $g'(t) = 2f(t)f'(t)$。于是：
$$
f^3(x) - f(a)^2 f(x) = f(x)(g(x)-g(a)) = f(x) \int_a^x 2f(t)f'(t) \, dt.
$$
积分并交换积分次序（区域 $a \le t \le x \le b$）：
$$
\int_a^b f(x) \left( \int_a^x 2f(t)f'(t) \, dt \right) dx = \int_a^b 2f(t)f'(t) \left( \int_t^b f(x) \, dx \right) dt.
$$
公式：\int_a^b f(x) \left( \int_a^x 2f(t)f'(t) \, dt \right) dx = \int_a^b 2f(t)f'(t) \left( \int_t^b f(x) \, dx \right) dt
提示：交换积分次序时注意积分限的对应关系，$t$ 从 $a$ 到 $b$，$x$ 从 $t$ 到 $b$。
步骤 4/5
目标：取绝对值并利用最大值放缩
取绝对值并利用 $|f'(t)| \le M$：
$$
\left| \int_a^b 2f(t)f'(t) \left( \int_t^b f(x) \, dx \right) dt \right| \le \int_a^b 2f(t) |f'(t)| \left( \int_t^b f(x) \, dx \right) dt \le 2M \int_a^b f(t) \left( \int_t^b f(x) \, dx \right) dt.
$$
公式：|f'(t)| \le M \Rightarrow 2f(t)|f'(t)| \le 2M f(t)
提示：绝对值放缩时保持积分号内的非负性，$f(t) \ge 0$ 保证放缩方向正确。
步骤 5/5
目标：计算内层积分并得到最终结果
记 $F(t) = \int_t^b f(x) \, dx$，则 $F'(t) = -f(t)$，且 $F(b)=0$，$F(a) = \int_a^b f(x) \, dx$。于是：
$$
\int_a^b f(t) F(t) \, dt = -\int_a^b F(t) F'(t) \, dt = -\frac12 \left[ F(b)^2 - F(a)^2 \right] = \frac12 \left( \int_a^b f(x) \, dx \right)^2.
$$
代入得：
$$
2M \int_a^b f(t) F(t) \, dt = 2M \cdot \frac12 \left( \int_a^b f(x) \, dx \right)^2 = M \left( \int_a^b f(x) \, dx \right)^2 \le 2M \left( \int_a^b f(x) \, dx \right)^2.
$$
因此原不等式成立，且实际上得到了更强的结果。
公式：\int_a^b f(t) \left( \int_t^b f(x) \, dx \right) dt = \frac12 \left( \int_a^b f(x) \, dx \right)^2
提示：利用 $F'(t) = -f(t)$ 将积分转化为 $F(t)$ 的平方差，注意 $F(b)=0$ 简化计算。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。