上海大学 2026年数学分析第7题
📝 题目
7．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 的邻域内连续可导， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=2$ ，求证：
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\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n+1} f\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right) \text { 的敛散性 }
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：由极限条件推导f(0)和f'(0)
由 $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = 2$ 及 $f$ 在 $x=0$ 邻域内连续可导，知 $f(0)=0$，且 $f'(0)=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=2$。
公式：$f'(0)=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}=2$
提示：注意极限存在且分母趋于0，分子必须趋于0，故f(0)=0。
步骤 2/7
目标：写出f(x)的局部线性近似
由导数定义，$f(x)=f(0)+f'(0)x+o(x)=2x+o(x)$，当 $x\to 0$ 时。
公式：$f(x)=2x+o(x)$
提示：o(x)表示比x高阶的无穷小。
步骤 3/7
目标：将通项代入近似
令 $a_n = f\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$，则 $a_n = 2\cdot\frac{1}{\sqrt{n}} + o\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$。
公式：$a_n = \frac{2}{\sqrt{n}} + o\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$
提示：注意 $o(1/\sqrt{n})$ 是比 $1/\sqrt{n}$ 高阶的无穷小。
步骤 4/7
目标：判断通项的正负和极限
由于 $f'(0)=2>0$，存在 $\delta>0$ 使得当 $00$，故 $f$ 在 $(0,\delta)$ 上严格增。又 $f(0)=0$，所以当 $00$。取 $N$ 使 $1/\sqrt{n}<\delta$，则当 $n\ge N$ 时 $a_n>0$ 且 $\lim_{n\to\infty}a_n=f(0)=0$。
提示：需验证单调性，不能直接由近似得出单调性。
步骤 5/7
目标：证明通项单调递减
当 $n\ge N$ 时，$\frac{1}{\sqrt{n+1}} < \frac{1}{\sqrt{n}} < \delta$，由 $f$ 的严格增性得 $f\left(\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right) < f\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$，即 $a_{n+1} < a_n$，故 $a_n$ 单调递减。
提示：单调递减性需利用f在0附近的单调性，不能仅靠近似。
步骤 6/7
目标：应用莱布尼茨判别法
交错级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}a_n$ 满足：$a_n$ 单调递减趋于0，由莱布尼茨判别法知级数收敛。
公式：莱布尼茨判别法：若 $a_n\downarrow 0$，则 $\sum(-1)^{n+1}a_n$ 收敛。
提示：注意莱布尼茨判别法要求单调递减且趋于0，缺一不可。
步骤 7/7
目标：总结结论
因此，原级数 $\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n+1} f\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$ 收敛。
提示：结论是收敛，不是绝对收敛。
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