上海理工大学 2024年数学分析第13题

函数 $y = e^{x - x^2}$ 是指数函数，指数部分 $x - x^2$ 是多项式，定义域为全体实数，即 $(-\infty, +\infty)$。

令 $u = x - x^2 = -\left(x^2 - x\right) = -\left[\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4}\right] = \frac{1}{4} - \left(x - \frac{1}{2}\right)^2$。由于 $\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 \geq 0$，所以 $u \leq \frac{1}{4}$，且当 $x \to \pm\infty$ 时 $u \to -\infty$。因此 $y = e^u$ 的值域为 $(0, e^{1/4}]$。

求一阶导数：$y' = e^{x - x^2} (1 - 2x)$。令 $y' = 0$ 得 $x = \frac{1}{2}$。当 $x < \frac{1}{2}$ 时，$1 - 2x > 0$，$y' > 0$，函数单调递增；当 $x > \frac{1}{2}$ 时，$1 - 2x < 0$，$y' < 0$，函数单调递减。

求二阶导数：$y'' = e^{x - x^2} \left[(1-2x)^2 - 2\right]$。令 $y'' = 0$ 得 $(1-2x)^2 = 2$，解得 $x = \frac{1 \pm \sqrt{2}}{2}$。当 $x < \frac{1 - \sqrt{2}}{2}$ 或 $x > \frac{1 + \sqrt{2}}{2}$ 时，$(1-2x)^2 > 2$，$y'' > 0$，函数凹（下凸）；当 $\frac{1 - \sqrt{2}}{2} < x < \frac{1 + \sqrt{2}}{2}$ 时，$y'' < 0$，函数凸（上凸）。拐点为 $\left( \frac{1 \pm \sqrt{2}}{2}, e^{-1/4} \right)$。

求极限：$\lim_{x \to \pm\infty} e^{x - x^2} = 0$，因为 $x - x^2 \to -\infty$。所以 $y = 0$ 是水平渐近线。无垂直渐近线。

由单调性知，$x = \frac{1}{2}$ 是极大值点，极大值为 $y\left(\frac{1}{2}\right) = e^{1/4}$。无极小值。

与y轴交点：令 $x=0$，得 $y=1$，即点 $(0,1)$。与x轴无交点，因为 $y>0$ 恒成立。

根据以上分析，函数 $y = e^{x - x^2}$ 的图像特征：定义域 $\mathbb{R}$，值域 $(0, e^{1/4}]$，在 $(-\infty, \frac{1}{2})$ 单调递增，在 $(\frac{1}{2}, +\infty)$ 单调递减，极大值点 $(\frac{1}{2}, e^{1/4})$，拐点 $(\frac{1 \pm \sqrt{2}}{2}, e^{-1/4})$，水平渐近线 $y=0$，过点 $(0,1)$。