上海理工大学 2024年数学分析第6题
📝 题目
6． $\displaystyle \int_{0}^{\pi} e^{x} \cos ^{2} x d x$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：利用三角恒等式化简被积函数
使用二倍角公式 $\cos^2 x = \frac{1+\cos 2x}{2}$，将原积分化为两个积分之和：
$$\int_{0}^{\pi} e^{x} \cos^{2} x \, dx = \int_{0}^{\pi} e^{x} \cdot \frac{1+\cos 2x}{2} \, dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} e^{x} \, dx + \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} e^{x} \cos 2x \, dx.$$
公式：$\cos^2 x = \frac{1+\cos 2x}{2}$
提示：注意二倍角公式的正确使用，不要忘记系数1/2。
步骤 2/7
目标：计算第一个积分
计算 $\int_{0}^{\pi} e^{x} \, dx = e^{\pi} - 1$，因此第一个部分为 $\frac{1}{2}(e^{\pi} - 1)$。
公式：$\int e^x dx = e^x + C$
提示：注意积分上下限代入时不要出错。
步骤 3/7
目标：引入辅助积分I
令 $I = \int_{0}^{\pi} e^{x} \cos 2x \, dx$，则原积分表示为 $\frac{1}{2}(e^{\pi} - 1) + \frac{1}{2}I$。
提示：明确I的定义，后续计算中保持一致。
步骤 4/7
目标：对I使用分部积分
对 $I$ 应用分部积分公式 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$，取 $u = \cos 2x$，$dv = e^x dx$，则 $du = -2\sin 2x \, dx$，$v = e^x$。于是
$$I = \left. e^x \cos 2x \right|_{0}^{\pi} - \int_{0}^{\pi} e^x (-2\sin 2x) \, dx = (e^{\pi} \cos 2\pi - e^0 \cos 0) + 2 \int_{0}^{\pi} e^x \sin 2x \, dx = (e^{\pi} - 1) + 2J,$$
其中 $J = \int_{0}^{\pi} e^x \sin 2x \, dx$。
公式：$\int u \, dv = uv - \int v \, du$
提示：注意分部积分时符号的处理，特别是负号。
步骤 5/7
目标：计算J并建立与I的关系
对 $J$ 再次使用分部积分，取 $u = \sin 2x$，$dv = e^x dx$，则 $du = 2\cos 2x \, dx$，$v = e^x$。于是
$$J = \left. e^x \sin 2x \right|_{0}^{\pi} - \int_{0}^{\pi} e^x (2\cos 2x) \, dx = (e^{\pi} \sin 2\pi - e^0 \sin 0) - 2 \int_{0}^{\pi} e^x \cos 2x \, dx = 0 - 2I = -2I.$$
提示：注意第二次分部积分后出现的是 $-2I$，不要遗漏负号。
步骤 6/7
目标：解出I
将 $J = -2I$ 代入 $I = (e^{\pi} - 1) + 2J$，得 $I = e^{\pi} - 1 + 2(-2I) = e^{\pi} - 1 - 4I$。移项得 $5I = e^{\pi} - 1$，所以 $I = \frac{e^{\pi} - 1}{5}$。
提示：解方程时注意移项和系数运算。
步骤 7/7
目标：代回原积分并化简
原积分 $= \frac{1}{2}(e^{\pi} - 1) + \frac{1}{2} \cdot \frac{e^{\pi} - 1}{5} = \frac{1}{2}(e^{\pi} - 1) \left(1 + \frac{1}{5}\right) = \frac{1}{2}(e^{\pi} - 1) \cdot \frac{6}{5} = \frac{3}{5}(e^{\pi} - 1)$。
提示：最后化简时注意分数运算，确保结果正确。
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