上海理工大学 2024年数学分析第5题

积分区域为球体 $x^2+y^2+z^2 \leq t^2$，即半径为 $|t|$ 的球体。令 $r = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$，则被积函数 $f(x^2+y^2+z^2) = f(r^2)$。使用球坐标变换：$x = r\sin\phi\cos\theta$, $y = r\sin\phi\sin\theta$, $z = r\cos\phi$，体积元 $dV = r^2\sin\phi\, dr\, d\phi\, d\theta$。

积分区域：$r$ 从 $0$ 到 $|t|$，$\phi$ 从 $0$ 到 $\pi$，$\theta$ 从 $0$ 到 $2\pi$。因此 \[ F(t) = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^\pi \sin\phi\, d\phi \int_0^{|t|} f(r^2) r^2\, dr. \]

计算 $\int_0^{2\pi} d\theta = 2\pi$，$\int_0^\pi \sin\phi\, d\phi = 2$。因此 \[ F(t) = 2\pi \cdot 2 \int_0^{|t|} f(r^2) r^2\, dr = 4\pi \int_0^{|t|} f(r^2) r^2\, dr. \]

由于 $F(t)$ 依赖于 $|t|$，$F(t)$ 是偶函数。当 $t > 0$ 时，$|t| = t$，所以 $F(t) = 4\pi \int_0^t f(r^2) r^2\, dr$。当 $t < 0$ 时，$|t| = -t$，所以 $F(t) = 4\pi \int_0^{-t} f(r^2) r^2\, dr$。

当 $t > 0$ 时，$F(t) = 4\pi \int_0^t f(r^2) r^2\, dr$。由微积分基本定理，上限为变量 $t$，被积函数为 $f(r^2) r^2$，所以 \[ F'(t) = 4\pi \cdot f(t^2) t^2. \]

当 $t < 0$ 时，$F(t) = 4\pi \int_0^{-t} f(r^2) r^2\, dr$。令 $u = -t$，则 $u > 0$，$F(t) = 4\pi \int_0^u f(r^2) r^2\, dr$。由链式法则，$F'(t) = 4\pi \cdot f(u^2) u^2 \cdot \frac{du}{dt} = 4\pi f(t^2) (-t)^2 \cdot (-1) = -4\pi f(t^2) t^2$。

综合 $t>0$ 和 $t<0$ 的情况，$F'(t) = 4\pi f(t^2) t^2 \cdot \operatorname{sgn}(t)$，其中 $\operatorname{sgn}(t)$ 是符号函数。由于 $t^2 \operatorname{sgn}(t) = t |t|$，所以 \[ F'(t) = 4\pi f(t^2) t |t|. \]