上海理工大学 2024年数学分析第4题
📝 题目
4．$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}e^{-\frac{1}{x^{2}+y^{2}}} & x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0 & x^{2}+y^{2}=0\end{array}\right.$, 判断 $\displaystyle f(x, y)$ 的连续性和可微性．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：判断连续性：分析原点处的极限
函数在原点定义为0，在其他点定义为 $e^{-\frac{1}{x^2+y^2}}$。考虑极限 $\lim_{(x,y)\to(0,0)} e^{-\frac{1}{x^2+y^2}}$。令 $r=\sqrt{x^2+y^2}$，则当 $r\to 0$ 时，$-\frac{1}{r^2}\to -\infty$，所以 $e^{-1/r^2}\to 0$。因此极限等于函数值0，故在原点连续。
公式：$\lim_{r\to 0} e^{-1/r^2}=0$
提示：注意将二元极限转化为一元极限，利用指数函数的性质。
步骤 2/7
目标：判断连续性：其他点的连续性
当 $x^2+y^2\neq 0$ 时，$f(x,y)=e^{-\frac{1}{x^2+y^2}}$ 由初等函数复合而成，且分母不为零，故连续。因此 $f(x,y)$ 在整个 $\mathbb{R}^2$ 上连续。
提示：初等函数在其定义域内连续。
步骤 3/7
目标：计算原点处的偏导数
由偏导数定义：$f_x(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{e^{-1/h^2}}{h}$。令 $t=1/h$，则当 $h\to 0$ 时 $|t|\to \infty$，极限化为 $\lim_{t\to \pm\infty}\frac{t}{e^{t^2}}=0$（指数增长远快于线性）。同理 $f_y(0,0)=0$。
公式：$f_x(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{e^{-1/h^2}}{h}=0$
提示：注意使用变量替换，并比较增长速度。
步骤 4/7
目标：计算非原点处的偏导数
当 $x^2+y^2\neq 0$ 时，直接求导：$f_x(x,y)=\frac{2x}{(x^2+y^2)^2}e^{-\frac{1}{x^2+y^2}}$，$f_y(x,y)=\frac{2y}{(x^2+y^2)^2}e^{-\frac{1}{x^2+y^2}}$。
公式：$f_x(x,y)=\frac{2x}{(x^2+y^2)^2}e^{-\frac{1}{x^2+y^2}}$
提示：注意复合函数求导法则。
步骤 5/7
目标：判断原点处的可微性
在原点处，增量 $\Delta f = f(\Delta x,\Delta y)-f(0,0)=e^{-\frac{1}{\Delta x^2+\Delta y^2}}$，线性近似为0。需要验证 $\lim_{(\Delta x,\Delta y)\to(0,0)}\frac{e^{-\frac{1}{\Delta x^2+\Delta y^2}}}{\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}}=0$。令 $r=\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}$，则极限为 $\lim_{r\to 0}\frac{e^{-1/r^2}}{r}=0$（同前）。因此 $f$ 在原点可微。
公式：$\lim_{r\to 0}\frac{e^{-1/r^2}}{r}=0$
提示：可微性定义：差值与距离之比趋于0。
步骤 6/7
目标：判断非原点处的可微性
在非原点处，偏导数 $f_x,f_y$ 存在且连续？检查偏导数在原点附近的行为：当 $(x,y)\to(0,0)$ 时，$\frac{2x}{(x^2+y^2)^2}e^{-\frac{1}{x^2+y^2}}\to 0$（因为指数衰减更快），所以偏导数在原点连续。因此 $f$ 在 $\mathbb{R}^2$ 上连续可微。
提示：偏导数连续是可微的充分条件。
步骤 7/7
目标：总结结论
函数 $f(x,y)$ 在 $\mathbb{R}^2$ 上连续且可微。
提示：注意区分连续性和可微性的关系。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。