上海财经大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
1．判断下述命题是否正确并给出理由．
（1）设数列 $\left\{b_{n}-a_{n}\right\}$ 无界，数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 收敛，则数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 无界．
（2）设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a$ ，且 $a_{n}$ 是集合 $A$ 的上界，则 $a$ 是集合 $A$ 的上界．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：分析命题（1）的条件与结论
已知数列 $\{b_n - a_n\}$ 无界，数列 $\{a_n\}$ 收敛。要判断 $\{b_n\}$ 是否无界。
提示：注意无界与发散的区别：无界意味着绝对值可以任意大，不一定趋于无穷。
步骤 2/7
目标：利用收敛数列的有界性
因为 $\{a_n\}$ 收敛，设 $\lim_{n\to\infty} a_n = L$，则 $\{a_n\}$ 有界，即存在 $M_1 > 0$ 使得对所有 $n$ 有 $|a_n| \leq M_1$。
公式：$\exists M_1 > 0,\ \forall n,\ |a_n| \leq M_1$
提示：收敛数列必有界是基本性质，但反之不成立。
步骤 3/7
目标：反证法证明 $\{b_n\}$ 无界
假设 $\{b_n\}$ 有界，则存在 $M_2 > 0$ 使得 $|b_n| \leq M_2$ 对所有 $n$ 成立。那么 $|b_n - a_n| \leq |b_n| + |a_n| \leq M_2 + M_1$，这与 $\{b_n - a_n\}$ 无界矛盾。因此假设不成立，$\{b_n\}$ 无界。
公式：$|b_n - a_n| \leq |b_n| + |a_n|$
提示：注意三角不等式的使用：$|x-y| \leq |x| + |y|$。
步骤 4/7
目标：结论（1）
命题（1）正确。
步骤 5/7
目标：分析命题（2）的条件与结论
已知 $\lim_{n\to\infty} a_n = a$，且每个 $a_n$ 都是集合 $A$ 的上界，即对任意 $x \in A$ 和任意 $n$，有 $x \leq a_n$。要判断 $a$ 是否为 $A$ 的上界。
公式：$\forall x \in A,\ \forall n,\ x \leq a_n$
提示：上界定义：若对所有 $x \in A$ 有 $x \leq M$，则 $M$ 是 $A$ 的上界。
步骤 6/7
目标：应用极限的保不等式性
固定任意 $x \in A$，由条件知对所有 $n$ 有 $x \leq a_n$。对不等式两边取极限，由极限的保不等式性（若 $x_n \leq y_n$ 且两者极限存在，则 $\lim x_n \leq \lim y_n$）得 $x \leq \lim_{n\to\infty} a_n = a$。
公式：$x \leq a_n \Rightarrow x \leq \lim_{n\to\infty} a_n = a$
提示：保不等式性要求数列极限存在，这里 $a_n$ 收敛，常数数列 $x$ 也收敛，故适用。
步骤 7/7
目标：结论（2）
由于 $x$ 是 $A$ 中任意元素，因此 $a$ 是 $A$ 的一个上界，命题（2）正确。
提示：注意：极限 $a$ 可能比所有 $a_n$ 都小，但依然不小于 $A$ 中任何元素。
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