📝 上海财经大学 2026年数学分析真题

1．判断下述命题是否正确并给出理由．
（1）设数列 $\left\{b_{n}-a_{n}\right\}$ 无界，数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 收敛，则数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 无界．
（2）设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a$ ，且 $a_{n}$ 是集合 $A$ 的上界，则 $a$ 是集合 $A$ 的上界．

2．求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1 \times 3 \times 5 \times \cdots \times(2 n-1)}{2 \times 4 \times 6 \times \cdots \times(2 n)}$ ．

3．计算 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{\left(1+x^{2}\right)\left(1+x^{2026}\right)} \mathrm{d} x$ ．

4．计算 $\iint_{x^{2}+y^{2} \leq 1}|3 x+4 y| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．

5．计算曲线积分 $\displaystyle \int_{C} \frac{y \mathrm{~d} x-x \mathrm{~d} y}{x^{2}+y^{2}}$ ，其中 $C$ 是 $\displaystyle \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1$ 从 $(2,0)$ 到 $(-2,0)$ 的一段曲线，取逆时针方向．

6．求平面 $x+y+z=0$ 与椭球面 $x^{2}+y^{2}+4 z^{2}=1$ 相交而成的椭圆面积．

7．设

$$
f(x)= \begin{cases}p, & x=\frac{p}{q}\left(p \in \mathbb{N}^{+}, q \in \mathbb{Z} \backslash\{0\}, p, q \text { 互素 }\right), \\ 1, & x=0, \\ 0, & x \text { 是无理数. }\end{cases}
$$

证明：$f(x)$ 在任意区间上无界．

8．设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上有定义，证明：$f(x)$ 在 $[a, b]$ 上一致连续的充要条件是 $f(x)$ 将 $[a, b]$ 上的任意 Cauchy 数列映射为 Cauchy 数列．

9．已知 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上二阶可导，且有 $f(a)=f(b)=0$ ，若存在 $c \in(a, b)$ 使得 $f(c)>0$ ．证明：存在 $\xi \in(a, b)$ ，使得 $f^{\prime \prime}(\xi)<0$ ．

10．设 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上三阶可导，证明：若 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x), ~ \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime \prime \prime}(x)$ 都存在且有限，则

$$
\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime \prime}(x)=\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime \prime \prime}(x)=0
$$

11．设

$$
f(x, y)= \begin{cases}x y \cos \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, & (x, y) \neq(0,0) \\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{cases}
$$

证明：$f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微，但偏导函数不连续．

12．设 $a_{n} \geq 0$ ，且幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的收玫半径为 $R$ ，证明： $\lim _{x \rightarrow R^{-}} \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} x^{n}=\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} R^{n}$ ．