上海财经大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
8．设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上有定义，证明：$f(x)$ 在 $[a, b]$ 上一致连续的充要条件是 $f(x)$ 将 $[a, b]$ 上的任意 Cauchy 数列映射为 Cauchy 数列．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确待证充要条件，并设定符号与前提
设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上有定义。要证明：$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上一致连续的充要条件是：对任意 $[a,b]$ 中的 Cauchy 数列 $\{x_n\}$，其像 $\{f(x_n)\}$ 也是 Cauchy 数列。我们将先证明必要性（一致连续 ⇒ 映射保持 Cauchy 性），再证明充分性（映射保持 Cauchy 性 ⇒ 一致连续）。
提示：注意区分一致连续与逐点连续的定义，前者要求 $\delta$ 与位置无关。
步骤 2/6
目标：必要性证明：由一致连续推出映射保持 Cauchy 性
假设 $f$ 在 $[a,b]$ 上一致连续。由定义：对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得对任意 $x,y \in [a,b]$，只要 $|x-y| < \delta$，就有 $|f(x)-f(y)| < \varepsilon$。现在取任意一个 $[a,b]$ 中的 Cauchy 数列 $\{x_n\}$。由 Cauchy 数列的定义，对上述 $\delta > 0$，存在正整数 $N$，使得当 $m,n > N$ 时，$|x_n - x_m| < \delta$。于是由一致连续性，当 $m,n > N$ 时，$|f(x_n)-f(x_m)| < \varepsilon$。这说明 $\{f(x_n)\}$ 也是 Cauchy 数列。
公式：∀ε>0, ∃δ>0, ∀x,y∈[a,b], |x-y|<δ ⇒ |f(x)-f(y)|<ε
提示：Cauchy 数列的定义是：对任意正数，存在指标使得之后任意两项的差小于该正数。
步骤 3/6
目标：充分性证明：采用反证法，假设不一致连续
假设 $f$ 把 $[a,b]$ 中的任意 Cauchy 数列映射为 Cauchy 数列，但 $f$ 不一致连续。则存在某个 $\varepsilon_0 > 0$，使得对任意 $\delta > 0$，都能找到两点 $x,y \in [a,b]$ 满足 $|x-y| < \delta$ 但 $|f(x)-f(y)| \ge \varepsilon_0$。特别地，取 $\delta = 1/n$，则存在数列 $\{x_n\},\{y_n\} \subset [a,b]$，满足 $|x_n - y_n| < \frac{1}{n}$ 且 $|f(x_n)-f(y_n)| \ge \varepsilon_0$。
公式：∃ε₀>0, ∀n∈ℕ, ∃xₙ,yₙ∈[a,b]: |xₙ-yₙ|<1/n, |f(xₙ)-f(yₙ)|≥ε₀
提示：不一致连续的否定形式要准确写出：存在一个固定的正数 ε₀，无论 δ 多小，都能找到两点距离小于 δ 但函数值差至少为 ε₀。
步骤 4/6
目标：利用 Bolzano-Weierstrass 定理构造收敛子列
由于 $[a,b]$ 是有界闭集，数列 $\{x_n\}$ 有收敛子列 $\{x_{n_k}\}$，设其极限为 $c \in [a,b]$。由 $|x_{n_k} - y_{n_k}| < 1/n_k \to 0$，可知 $\{y_{n_k}\}$ 也收敛到同一个 $c$。现在构造一个新数列 $\{z_n\}$，让它交错包含 $x_{n_k}$ 和 $y_{n_k}$，例如：$z_1 = x_{n_1}, z_2 = y_{n_1}, z_3 = x_{n_2}, z_4 = y_{n_2}, \dots$。由于 $x_{n_k}$ 和 $y_{n_k}$ 都趋于 $c$，这个新数列 $\{z_n\}$ 也是 Cauchy 数列（因为趋于同一个极限）。
公式：lim_{k→∞} x_{n_k} = c, lim_{k→∞} y_{n_k} = c ⇒ {z_n} 是 Cauchy 列
提示：交错构造是常见技巧，确保新数列中相邻的奇偶项恰好是原配对。
步骤 5/6
目标：导出矛盾，完成充分性证明
根据假设，$\{f(z_n)\}$ 应该是 Cauchy 数列。但在该数列中，对于任意 $k$，相邻的 $f(x_{n_k})$ 和 $f(y_{n_k})$ 的差始终 $\ge \varepsilon_0$。取 $\varepsilon = \varepsilon_0/2$，则无论取多大的指标 $N$，总存在 $m,n > N$（例如取 $m=2k-1, n=2k$ 且 $k$ 足够大）使得 $|f(z_m)-f(z_n)| \ge \varepsilon_0 > \varepsilon_0/2$，这与 Cauchy 数列的定义矛盾。因此假设不成立，$f$ 必须一致连续。
公式：∀k, |f(x_{n_k})-f(y_{n_k})| ≥ ε₀ ⇒ {f(z_n)} 不是 Cauchy 列
提示：Cauchy 列要求对任意正数 ε，存在 N 使得之后任意两项差小于 ε；这里 ε₀/2 无法满足。
步骤 6/6
目标：总结结论
必要性：一致连续 ⇒ 映射保持 Cauchy 性；充分性：映射保持 Cauchy 性 ⇒ 一致连续。因此，$f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上一致连续当且仅当它将 $[a,b]$ 中的任意 Cauchy 数列映射为 Cauchy 数列。
提示：该结论是函数一致连续性的一个重要刻画，常用于理论推导。
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