上海财经大学 2026年数学分析第0题

函数 $f(x)$ 定义为：当 $x$ 为有理数（$x \neq 0$）且写成既约分数 $\frac{p}{q}$（$p \in \mathbb{N}^+$，$q \in \mathbb{Z}\setminus\{0\}$，$p,q$ 互素）时，$f(x)=p$；当 $x=0$ 时，$f(0)=1$；当 $x$ 为无理数时，$f(x)=0$。 “在任意区间上无界”是指：对任意区间 $I$（长度大于0），不存在常数 $M$ 使得对所有 $x \in I$ 都有 $|f(x)| \leq M$。即函数值可以任意大。

无理数点函数值为0，$x=0$ 处函数值为1，这些值都是有限的。因此，要得到任意大的函数值，只能来自有理数点。对于有理数 $x = \frac{p}{q}$（既约形式），函数值等于分子 $p$。所以问题转化为：在任意区间内，能否找到既约分数 $\frac{p}{q}$ 使得分子 $p$ 任意大？

取一个很大的质数 $q$（质数保证与很多整数互质）。考虑形如 $\frac{p}{q}$ 的分数，其中 $p$ 是正整数。我们希望 $\frac{p}{q}$ 落在给定区间 $(a,b)$ 内，即满足 $a < \frac{p}{q} < b$，等价于 $aq < p < bq$。区间 $(aq, bq)$ 的长度为 $(b-a)q$。当 $q$ 充分大时，$(b-a)q > 1$，因此该区间内至少存在一个整数 $p$。

由于 $q$ 是质数，$p$ 与 $q$ 的公因数只可能是 $1$ 或 $q$。若 $q$ 整除 $p$，则 $\frac{p}{q}$ 是整数，可写为 $\frac{n}{1}$，此时分子为 $n$，仍然可以很大。但更稳妥的做法是：在区间 $(aq, bq)$ 内，连续 $q$ 个整数中只有一个被 $q$ 整除，由于区间长度大于1，我们总可以选取一个不被 $q$ 整除的整数 $p$，这样 $\frac{p}{q}$ 就是既约分数。

对于任意给定的正数 $M$，取质数 $q$ 充分大，使得 $(b-a)q > 1$ 且 $aq > M$（或 $bq > M$，保证 $p$ 可以大于 $M$）。由上述构造，存在整数 $p$ 满足 $aq < p < bq$ 且 $p$ 不被 $q$ 整除，从而 $\frac{p}{q}$ 是既约分数且落在 $(a,b)$ 内，对应的函数值 $f\left(\frac{p}{q}\right)=p > M$。因此函数在区间 $(a,b)$ 上无界。

由于对任意区间和任意大的正数 $M$，都能构造出区间内的有理数点使得函数值大于 $M$，故 $f(x)$ 在任意区间上无界。