上海财经大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
6．求平面 $x+y+z=0$ 与椭球面 $x^{2}+y^{2}+4 z^{2}=1$ 相交而成的椭圆面积．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解几何关系
平面方程为 $x+y+z=0$，椭球面方程为 $x^2+y^2+4z^2=1$，它们的交线是一个位于该平面上的椭圆，需要求该椭圆的面积。
提示：注意椭球面方程中 $z$ 的系数为4，不是标准球面。
步骤 2/5
目标：在平面上建立正交坐标系
平面 $x+y+z=0$ 的法向量为 $\mathbf{n}=(1,1,1)$。取平面上一个向量 $\mathbf{u}=(1,-1,0)$，再通过叉积得到与 $\mathbf{u}$ 正交的向量 $\mathbf{v}=\mathbf{n}\times\mathbf{u}=(1,1,-2)$。单位化得：
$\mathbf{e}_1=\left(\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}},0\right)$，
$\mathbf{e}_2=\left(\frac{1}{\sqrt{6}},\frac{1}{\sqrt{6}},-\frac{2}{\sqrt{6}}\right)$。
公式：$\mathbf{v} = \mathbf{n} \times \mathbf{u}$
提示：确保两个基向量正交且都在平面上，可通过点积验证。
步骤 3/5
目标：将坐标变换到平面上的二维坐标系
设平面上任意点 $(x,y,z)=X\mathbf{e}_1+Y\mathbf{e}_2$，则
$x = \frac{X}{\sqrt{2}} + \frac{Y}{\sqrt{6}}$，
$y = -\frac{X}{\sqrt{2}} + \frac{Y}{\sqrt{6}}$，
$z = -\frac{2Y}{\sqrt{6}}$。
公式：$(x,y,z)=X\mathbf{e}_1+Y\mathbf{e}_2$
提示：注意坐标变换的系数要准确代入。
步骤 4/5
目标：代入椭球面方程化简
计算 $x^2+y^2$：
$\left(\frac{X}{\sqrt{2}}+\frac{Y}{\sqrt{6}}\right)^2+\left(-\frac{X}{\sqrt{2}}+\frac{Y}{\sqrt{6}}\right)^2 = X^2+\frac{Y^2}{3}$。
计算 $4z^2$：$z=-\frac{2Y}{\sqrt{6}}$，$z^2=\frac{4Y^2}{6}=\frac{2Y^2}{3}$，$4z^2=\frac{8Y^2}{3}$。
代入椭球面方程得：$X^2+\frac{Y^2}{3}+\frac{8Y^2}{3}=X^2+3Y^2=1$。
公式：$X^2+3Y^2=1$
提示：合并同类项时注意系数不要算错。
步骤 5/5
目标：求椭圆面积
在 $XOY$ 平面内，方程 $X^2+3Y^2=1$ 表示标准椭圆，半长轴 $a=1$（沿 $X$ 轴），半短轴 $b=\frac{1}{\sqrt{3}}$（沿 $Y$ 轴）。椭圆面积公式 $S=\pi a b$，所以 $S=\pi \cdot 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\pi}{\sqrt{3}}$。
公式：$S = \pi a b = \frac{\pi}{\sqrt{3}}$
提示：注意椭圆方程中 $Y$ 的系数是3，因此半短轴是 $1/\sqrt{3}$。
步骤 6/6
目标：得出最终答案
所求椭圆面积为 $\frac{\pi}{\sqrt{3}}$。
提示：答案需化简，分母有理化不是必须，但通常保留为 $\frac{\pi}{\sqrt{3}}$。
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