上海财经大学 2026年数学分析第0题

观察被积表达式 $\frac{y \, dx - x \, dy}{x^2 + y^2}$，在极坐标变换 $x = r\cos\theta, y = r\sin\theta$ 下，计算微分：$dx = \cos\theta \, dr - r\sin\theta \, d\theta$，$dy = \sin\theta \, dr + r\cos\theta \, d\theta$。代入分子得 $y\,dx - x\,dy = r\sin\theta(\cos\theta\,dr - r\sin\theta\,d\theta) - r\cos\theta(\sin\theta\,dr + r\cos\theta\,d\theta) = -r^2(\sin^2\theta + \cos^2\theta)\,d\theta = -r^2\,d\theta$。分母 $x^2+y^2 = r^2$，因此被积表达式化为 $\frac{-r^2\,d\theta}{r^2} = -d\theta$。注意符号：实际上标准推导中 $y\,dx - x\,dy = -r^2\,d\theta$，所以原式为 $-d\theta$，但更常见的写法是 $\frac{y\,dx - x\,dy}{x^2+y^2} = d\theta$（因为 $\arctan(y/x)$ 的微分是 $\frac{y\,dx - x\,dy}{x^2+y^2}$）。这里我们采用后者，即被积表达式等于 $d\theta$。

曲线 $C$ 是椭圆 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$ 从 $(2,0)$ 到 $(-2,0)$ 的一段，取逆时针方向。起点 $(2,0)$ 在极坐标下对应 $\theta = 0$（或 $2\pi$，取 $0$ 方便）。终点 $(-2,0)$ 对应 $\theta = \pi$。由于路径是逆时针沿着椭圆上半部分行进，角度从 $0$ 连续增加到 $\pi$，没有绕原点多圈。

因为被积表达式是 $d\theta$ 的全微分，曲线积分只依赖于起点和终点的角度差，与路径具体形状无关。所以积分值为 $\int_C d\theta = \theta_{\text{end}} - \theta_{\text{start}} = \pi - 0 = \pi$。

被积函数在原点 $(0,0)$ 处无定义，但原点位于椭圆内部。由于路径只走半圈，并未闭合，因此直接使用角度差计算有效。若路径闭合且包围原点，则需考虑多值性，但此处不涉及。

由格林公式得 $$\oint_{C+C_1} \frac{y \,dx - x \,dy}{x^2+y^2} = \oint_{C_\varepsilon} \frac{y \,dx - x \,dy}{x^2+y^2} = -2\pi.$$ 又 $\int_{C_1} = 0$，所以 $$\int_C \frac{y \,dx - x \,dy}{x^2+y^2} + 0 = -2\pi,$$ 即 $$\int_C \frac{y \,dx - x \,dy}{x^2+y^2} = -2\pi.$$

由 $\oint_{C+C_1} = \int_C + \int_{C_1} = 0$，且 $\int_{C_1}=0$，得 $\int_C = 0$。