上海财经大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
9．已知 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上二阶可导，且有 $f(a)=f(b)=0$ ，若存在 $c \in(a, b)$ 使得 $f(c)>0$ ．证明：存在 $\xi \in(a, b)$ ，使得 $f^{\prime \prime}(\xi)<0$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析已知条件，明确目标
已知函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上二阶可导，且 $f(a)=f(b)=0$，存在 $c \in (a,b)$ 使得 $f(c)>0$。需要证明存在 $\xi \in (a,b)$ 使得 $f''(\xi)<0$。
公式：f(a)=f(b)=0, \quad f(c)>0
提示：注意二阶可导意味着函数及其一阶导数均连续，且可应用中值定理。
步骤 2/5
目标：确定内部最大值点
由于 $f(a)=f(b)=0$ 且 $f(c)>0$，由连续函数性质，$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上存在最大值，且最大值必在开区间 $(a,b)$ 内部取得。设最大值点为 $x_0 \in (a,b)$，则 $f(x_0) \ge f(c) > 0$。由费马定理，在极值点处一阶导数为零：$f'(x_0)=0$。
公式：f(x_0) = \max_{x \in [a,b]} f(x) > 0, \quad f'(x_0)=0
提示：最大值点可能不止一个，但只需取一个即可。
步骤 3/5
目标：在最大值点两侧应用中值定理得到一阶导数的符号
在区间 $[a, x_0]$ 上应用拉格朗日中值定理，存在 $\eta_1 \in (a, x_0)$ 使得 $f'(\eta_1) = \frac{f(x_0)-f(a)}{x_0-a} = \frac{f(x_0)}{x_0-a} > 0$。在区间 $[x_0, b]$ 上应用拉格朗日中值定理，存在 $\eta_2 \in (x_0, b)$ 使得 $f'(\eta_2) = \frac{f(b)-f(x_0)}{b-x_0} = \frac{-f(x_0)}{b-x_0} < 0$。
公式：f'(\eta_1) = \frac{f(x_0)}{x_0-a} > 0, \quad f'(\eta_2) = \frac{-f(x_0)}{b-x_0} < 0
提示：注意 $\eta_1 < x_0 < \eta_2$，且 $f(x_0)>0$ 保证了符号。
步骤 4/5
目标：对一阶导数应用中值定理得到二阶导数的符号
由于 $f$ 二阶可导，$f'$ 在 $[\eta_1, \eta_2]$ 上可导。对 $f'$ 在 $[\eta_1, \eta_2]$ 上应用拉格朗日中值定理，存在 $\xi \in (\eta_1, \eta_2) \subset (a,b)$ 使得 $f''(\xi) = \frac{f'(\eta_2) - f'(\eta_1)}{\eta_2 - \eta_1}$。分子 $f'(\eta_2)-f'(\eta_1) < 0$，分母 $\eta_2-\eta_1 > 0$，因此 $f''(\xi) < 0$。
公式：f''(\xi) = \frac{f'(\eta_2)-f'(\eta_1)}{\eta_2-\eta_1} < 0
提示：注意 $\xi$ 在 $\eta_1$ 和 $\eta_2$ 之间，因此 $\xi \in (a,b)$。
步骤 5/5
目标：总结结论
因此，存在 $\xi \in (a,b)$ 使得 $f''(\xi) < 0$，命题得证。
公式：\exists \xi \in (a,b), \; f''(\xi) < 0
提示：本题的关键是利用最大值点构造一阶导数的变号，再通过中值定理得到二阶导数为负。
步骤 6/6
目标：得出结论
存在 $\xi \in (a, b)$ 使得 $f''(\xi) < 0$。
提示：最终结论需明确存在性。
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