上海财经大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
10．设 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上三阶可导，证明：若 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x), ~ \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime \prime \prime}(x)$ 都存在且有限，则
$$
\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime \prime}(x)=\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime \prime \prime}(x)=0
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析已知条件，明确要证明的目标
已知 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上三阶可导，且 $\lim_{x\to+\infty} f(x)=L$（有限），$\lim_{x\to+\infty} f'''(x)=M$（有限）。要证明 $\lim_{x\to+\infty} f'(x)=\lim_{x\to+\infty} f''(x)=\lim_{x\to+\infty} f'''(x)=0$。
提示：注意：题目并未直接给出 $f'(x)$ 和 $f''(x)$ 极限存在，需要利用条件推导出它们存在且为零。
步骤 2/6
目标：利用泰勒公式建立函数值与导数的关系
对任意固定的 $h>0$ 和充分大的 $x$，由带拉格朗日余项的泰勒公式：
$$f(x+h)=f(x)+f'(x)h+\frac{f''(x)}{2}h^2+\frac{f'''(\xi)}{6}h^3$$
其中 $\xi\in(x,x+h)$。当 $x\to+\infty$ 时，$\xi\to+\infty$，故 $f'''(\xi)\to M$。
公式：$$f(x+h)=f(x)+f'(x)h+\frac{f''(x)}{2}h^2+\frac{f'''(\xi)}{6}h^3$$
提示：泰勒展开的余项形式要正确，注意 $\xi$ 依赖于 $x$ 和 $h$。
步骤 3/6
目标：取极限得到第一个方程
将上式变形为：
$$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=f'(x)+\frac{h}{2}f''(x)+\frac{h^2}{6}f'''(\xi)$$
令 $x\to+\infty$，左边趋于 $\frac{L-L}{h}=0$，右边 $f'''(\xi)\to M$，故：
$$\lim_{x\to+\infty}\left[f'(x)+\frac{h}{2}f''(x)\right]=-\frac{h^2}{6}M\quad\text{(1)}$$
公式：$$\lim_{x\to+\infty}\left[f'(x)+\frac{h}{2}f''(x)\right]=-\frac{h^2}{6}M$$
提示：注意极限运算中，$h$ 是固定常数，不能随 $x$ 变化。
步骤 4/6
目标：用步长 $2h$ 得到第二个方程
对同一 $h$，用 $2h$ 代替 $h$ 写出泰勒公式：
$$f(x+2h)=f(x)+2hf'(x)+2h^2f''(x)+\frac{4h^3}{3}f'''(\eta)$$
其中 $\eta\in(x,x+2h)$。令 $x\to+\infty$，左边趋于 $0$，$f'''(\eta)\to M$，整理得：
$$\lim_{x\to+\infty}\left[f'(x)+hf''(x)\right]=-\frac{2h^2}{3}M\quad\text{(2)}$$
公式：$$\lim_{x\to+\infty}\left[f'(x)+hf''(x)\right]=-\frac{2h^2}{3}M$$
提示：注意系数计算：$2h^2$ 来自 $\frac{1}{2}(2h)^2=2h^2$，$\frac{4h^3}{3}$ 来自 $\frac{1}{6}(2h)^3=\frac{4h^3}{3}$。
步骤 5/6
目标：解方程组并利用 $h$ 的任意性推出 $M=0$
设 $A=\lim_{x\to+\infty}f'(x)$，$B=\lim_{x\to+\infty}f''(x)$（由方程可证它们存在）。由(1)(2)得：
$$\begin{cases}A+\frac{h}{2}B=-\frac{h^2}{6}M\\A+hB=-\frac{2h^2}{3}M\end{cases}$$
两式相减得：$\frac{h}{2}B=-\frac{h^2}{2}M$，即 $B=-hM$。
由于 $B$ 与 $h$ 无关，而 $h$ 可取任意正数，故必有 $M=0$，从而 $B=0$。代入(1)得 $A=0$。
公式：$$B=-hM\Rightarrow M=0,\quad B=0,\quad A=0$$
提示：关键点：$h$ 的任意性迫使 $M=0$，否则 $B$ 会随 $h$ 变化，矛盾。
步骤 6/6
目标：总结结论
由以上推导得：
$$\lim_{x\to+\infty}f'(x)=0,\quad \lim_{x\to+\infty}f''(x)=0,\quad \lim_{x\to+\infty}f'''(x)=0$$
证毕。
公式：$$\boxed{\lim_{x\to+\infty}f'(x)=\lim_{x\to+\infty}f''(x)=\lim_{x\to+\infty}f'''(x)=0}$$
提示：注意三阶导数的极限虽然已知存在，但必须证明其值为0。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。