上海财经大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
2．求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1 \times 3 \times 5 \times \cdots \times(2 n-1)}{2 \times 4 \times 6 \times \cdots \times(2 n)}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将乘积用双阶乘表示
设 \( a_n = \frac{1 \times 3 \times 5 \times \cdots \times (2n-1)}{2 \times 4 \times 6 \times \cdots \times (2n)} \)。分子是所有奇数的乘积，即 \((2n-1)!!\)；分母是所有偶数的乘积，即 \((2n)!!\)。
公式：a_n = \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}
提示：注意双阶乘的定义：奇数双阶乘只乘奇数，偶数双阶乘只乘偶数。
步骤 2/5
目标：将双阶乘转化为阶乘形式
利用公式：\((2n)!! = 2^n n!\)，以及 \((2n)! = (2n)!! \cdot (2n-1)!!\)，可得 \((2n-1)!! = \frac{(2n)!}{2^n n!}\)。代入得：\( a_n = \frac{(2n)! / (2^n n!)}{2^n n!} = \frac{(2n)!}{(2^n n!)^2} \)。
公式：a_n = \frac{(2n)!}{(2^n n!)^2}
提示：注意 (2n)! 与双阶乘的关系，避免混淆。
步骤 3/5
目标：应用斯特林公式近似阶乘
斯特林公式：\( m! \sim \sqrt{2\pi m} \left( \frac{m}{e} \right)^m \)。分别代入 \( m = 2n \) 和 \( m = n \)：
\((2n)! \sim \sqrt{4\pi n} \left( \frac{2n}{e} \right)^{2n}\)，
\( n! \sim \sqrt{2\pi n} \left( \frac{n}{e} \right)^n \)。
公式：m! \sim \sqrt{2\pi m} \left( \frac{m}{e} \right)^m
提示：斯特林公式在 n 很大时有效，注意系数和指数的准确性。
步骤 4/5
目标：代入近似并化简表达式
计算 \((2^n n!)^2 \sim 2^{2n} \cdot (2\pi n) \left( \frac{n}{e} \right)^{2n}\)。代入 \( a_n \) 的近似：
\( a_n \sim \frac{\sqrt{4\pi n} \left( \frac{2n}{e} \right)^{2n}}{2^{2n} \cdot 2\pi n \left( \frac{n}{e} \right)^{2n}} \)。
注意 \(\left( \frac{2n}{e} \right)^{2n} = 2^{2n} \left( \frac{n}{e} \right)^{2n}\)，分子分母中的 \(2^{2n}\) 约去，得：
\( a_n \sim \frac{\sqrt{4\pi n}}{2\pi n} = \frac{2\sqrt{\pi n}}{2\pi n} = \frac{1}{\sqrt{\pi n}} \)。
公式：a_n \sim \frac{1}{\sqrt{\pi n}}
提示：化简时注意指数运算和约分，避免遗漏因子。
步骤 5/5
目标：取极限得到最终结果
当 \( n \to \infty \) 时，\( \frac{1}{\sqrt{\pi n}} \to 0 \)，因此原极限为 0。
公式：\lim_{n \to \infty} a_n = 0
提示：极限趋于0是因为分母增长比分子快，斯特林公式给出了精确的衰减速度。
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