上海财经大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
4．计算 $\iint_{x^{2}+y^{2} \leq 1}|3 x+4 y| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析积分区域与被积函数
积分区域为 $x^2 + y^2 \le 1$，即半径为1的圆盘。被积函数为 $|3x + 4y|$，直线 $3x + 4y = 0$ 将圆盘分为两部分，一侧函数值为正，另一侧为负，取绝对值后负侧翻转为正。
公式：3x + 4y = 0
提示：注意绝对值函数的分界线，考虑利用对称性简化积分。
步骤 2/6
目标：利用坐标旋转简化被积函数
向量 $(3,4)$ 的长度为 $5$，作正交变换：$u = \frac{3x+4y}{5}$，$v = \frac{-4x+3y}{5}$。该变换的雅可比行列式绝对值为1，新坐标系下积分区域仍为单位圆盘 $u^2 + v^2 \le 1$，被积函数化为 $|3x+4y| = 5|u|$。
公式：u = \frac{3x+4y}{5}, \quad v = \frac{-4x+3y}{5}
提示：正交变换不改变面积元，雅可比行列式为1。
步骤 3/6
目标：将积分化为累次积分
原积分化为 $\iint_{u^2+v^2 \le 1} 5|u| \, du\, dv$。对固定的 $u$，$v$ 的范围为 $-\sqrt{1-u^2}$ 到 $\sqrt{1-u^2}$，先对 $v$ 积分得 $2\sqrt{1-u^2}$，于是积分变为 $5 \int_{-1}^{1} |u| \cdot 2\sqrt{1-u^2} \, du = 10 \int_{-1}^{1} |u| \sqrt{1-u^2} \, du$。
公式：\int_{-\sqrt{1-u^2}}^{\sqrt{1-u^2}} dv = 2\sqrt{1-u^2}
提示：注意 $|u|$ 是偶函数，可进一步简化积分限。
步骤 4/6
目标：利用偶函数性质简化积分
被积函数 $|u|\sqrt{1-u^2}$ 是偶函数，因此 $10 \int_{-1}^{1} |u| \sqrt{1-u^2} \, du = 20 \int_{0}^{1} u \sqrt{1-u^2} \, du$。
公式：\int_{-a}^{a} f(u) \, du = 2\int_{0}^{a} f(u) \, du \quad (f\text{为偶函数})
提示：注意 $u \ge 0$ 时 $|u| = u$。
步骤 5/6
目标：计算定积分
令 $t = 1 - u^2$，则 $dt = -2u \, du$，即 $u \, du = -\frac{1}{2} dt$。当 $u=0$ 时 $t=1$，当 $u=1$ 时 $t=0$。于是 $\int_{0}^{1} u \sqrt{1-u^2} \, du = \int_{1}^{0} \sqrt{t} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) dt = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} t^{1/2} \, dt = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} t^{3/2} \Big|_{0}^{1} = \frac{1}{3}$。
公式：\int_{0}^{1} u \sqrt{1-u^2} \, du = \frac{1}{3}
提示：换元时注意积分限的变化，不要遗漏负号。
步骤 6/6
目标：得出最终结果
原积分值为 $20 \times \frac{1}{3} = \frac{20}{3}$。
公式：\iint_{x^2+y^2 \le 1} |3x+4y| \, dx\, dy = \frac{20}{3}
提示：检查计算过程，确保每一步的系数正确。
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