上海财经大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
3．计算 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{\left(1+x^{2}\right)\left(1+x^{2026}\right)} \mathrm{d} x$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：引入变量代换 x = 1/t，将积分区间从 (0, +∞) 映射到自身
令 $x = \frac{1}{t}$，则 $dx = -\frac{1}{t^2} dt$，当 $x \to 0^+$ 时 $t \to +\infty$，当 $x \to +\infty$ 时 $t \to 0^+$。代入原积分得：
$$I = \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{(1+x^2)(1+x^{2026})} dx = \int_{+\infty}^{0} \frac{1}{(1+1/t^2)(1+1/t^{2026})} \cdot \left(-\frac{1}{t^2}\right) dt$$
公式：$x = \frac{1}{t}$
提示：注意积分上下限的交换以及负号的处理，最终要化为从0到+∞的积分。
步骤 2/5
目标：化简代换后的被积函数
计算 $1+x^2 = 1+\frac{1}{t^2} = \frac{t^2+1}{t^2}$，$1+x^{2026} = 1+\frac{1}{t^{2026}} = \frac{t^{2026}+1}{t^{2026}}$。因此被积函数化为：
$$\frac{1}{(1+x^2)(1+x^{2026})} = \frac{1}{\frac{t^2+1}{t^2} \cdot \frac{t^{2026}+1}{t^{2026}}} = \frac{t^2 \cdot t^{2026}}{(t^2+1)(t^{2026}+1)} = \frac{t^{2028}}{(t^2+1)(t^{2026}+1)}$$
公式：$\frac{1}{(1+x^2)(1+x^{2026})} = \frac{t^{2028}}{(t^2+1)(t^{2026}+1)}$
提示：注意指数运算：$t^2 \cdot t^{2026} = t^{2028}$。
步骤 3/5
目标：完成代换并得到对称形式的积分
将化简后的表达式乘以 $dx = -\frac{1}{t^2} dt$，得：
$$I = \int_{+\infty}^{0} \frac{t^{2028}}{(t^2+1)(t^{2026}+1)} \cdot \left(-\frac{1}{t^2}\right) dt = \int_{+\infty}^{0} \frac{-t^{2026}}{(t^2+1)(t^{2026}+1)} dt$$
交换积分上下限去掉负号：
$$I = \int_{0}^{+\infty} \frac{t^{2026}}{(t^2+1)(t^{2026}+1)} dt$$
将变量 $t$ 改回 $x$，得到：
$$I = \int_{0}^{+\infty} \frac{x^{2026}}{(1+x^2)(1+x^{2026})} dx$$
公式：$I = \int_{0}^{+\infty} \frac{x^{2026}}{(1+x^2)(1+x^{2026})} dx$
提示：这一步得到了原积分的对称形式，注意 $t^{2028}/t^2 = t^{2026}$。
步骤 4/5
目标：将原积分与对称形式相加，简化被积函数
原积分 $I = \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{(1+x^2)(1+x^{2026})} dx$，与上一步得到的 $I = \int_{0}^{+\infty} \frac{x^{2026}}{(1+x^2)(1+x^{2026})} dx$ 相加：
$$2I = \int_{0}^{+\infty} \frac{1 + x^{2026}}{(1+x^2)(1+x^{2026})} dx = \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{1+x^2} dx$$
公式：$\frac{1 + x^{2026}}{(1+x^2)(1+x^{2026})} = \frac{1}{1+x^2}$
提示：分子分母约去公因子 $1+x^{2026}$ 是关键步骤，注意 $x^{2026}$ 是正数，不会为零。
步骤 5/5
目标：计算简化后的积分并得出结果
计算 $\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{1+x^2} dx = \left[ \arctan x \right]_{0}^{+\infty} = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2}$。因此 $2I = \frac{\pi}{2}$，解得 $I = \frac{\pi}{4}$。
公式：$\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{1+x^2} dx = \frac{\pi}{2}$
提示：注意 $\arctan(+\infty) = \frac{\pi}{2}$，$\arctan(0)=0$。
步骤 6/6
目标：计算简单积分
计算 $\int_{0}^{1} \frac{1}{1+x^2} \, dx$：
$$ \int_{0}^{1} \frac{1}{1+x^2} \, dx = \arctan x \Big|_{0}^{1} = \arctan 1 - \arctan 0 = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4} $$
公式：$$ \int \frac{1}{1+x^2} \, dx = \arctan x + C $$
提示：注意 $\arctan 1 = \pi/4$，$\arctan 0 = 0$。
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