上海财经大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
11．设
$$
f(x, y)= \begin{cases}x y \cos \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, & (x, y) \neq(0,0) \\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{cases}
$$
证明：$f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微，但偏导函数不连续．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：证明偏导数在原点存在
由定义，$f_x(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}$。当$h\neq 0$时，$f(h,0)=h\cdot 0\cdot\cos\frac{1}{|h|}=0$，故分子为0，极限为0。同理$f_y(0,0)=0$。
公式：$f_x(0,0)=0,\quad f_y(0,0)=0$
提示：注意$f(h,0)$中$y=0$导致乘积为0，与余弦振荡无关。
步骤 2/4
目标：验证可微定义中的余项趋于0
可微需证：$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{|f(x,y)-f(0,0)-f_x(0,0)x-f_y(0,0)y|}{\sqrt{x^2+y^2}}=0$。代入得$\frac{|xy\cos(1/\sqrt{x^2+y^2})|}{\sqrt{x^2+y^2}}$。利用$|\cos|\le 1$和$|xy|\le\frac{x^2+y^2}{2}$，得该式$\le\frac{1}{2}\sqrt{x^2+y^2}\to 0$。
公式：$\frac{|xy|}{\sqrt{x^2+y^2}}\le\frac{1}{2}\sqrt{x^2+y^2}$
提示：关键不等式$|xy|\le\frac{x^2+y^2}{2}$来自$(|x|-|y|)^2\ge 0$。
步骤 3/4
目标：计算非原点处的偏导表达式
令$r=\sqrt{x^2+y^2}$，则$f=xy\cos\frac{1}{r}$。对$x$求偏导：$\frac{\partial}{\partial x}\cos\frac{1}{r}=\sin\frac{1}{r}\cdot\frac{x}{r^3}$，故$f_x=y\cos\frac{1}{r}+\frac{x^2 y}{r^3}\sin\frac{1}{r}$。同理$f_y=x\cos\frac{1}{r}+\frac{x y^2}{r^3}\sin\frac{1}{r}$。
公式：$f_x=y\cos\frac{1}{r}+\frac{x^2 y}{r^3}\sin\frac{1}{r}$
提示：注意链式法则中$\frac{\partial}{\partial x}\frac{1}{r}=-\frac{x}{r^3}$，余弦求导得负正弦，负负得正。
步骤 4/4
目标：证明偏导函数在原点不连续
沿路径$y=x$趋于$(0,0)$，则$r=\sqrt{2}|x|$。代入$f_x$得：$f_x(x,x)=x\cos\frac{1}{\sqrt{2}|x|}+\frac{x^3}{(\sqrt{2}|x|)^3}\sin\frac{1}{\sqrt{2}|x|}$。第一项趋于0，第二项为$\frac{\operatorname{sgn}(x)}{2\sqrt{2}}\sin\frac{1}{\sqrt{2}|x|}$，当$x\to 0$时振荡无极限。故$\lim_{(x,y)\to(0,0)}f_x(x,y)$不存在，$f_x$在原点不连续。同理$f_y$也不连续。
公式：$f_x(x,x)=\frac{\operatorname{sgn}(x)}{2\sqrt{2}}\sin\frac{1}{\sqrt{2}|x|}+o(1)$
提示：正弦函数在自变量趋于无穷时振荡，不趋于任何值，因此极限不存在。
步骤 5/6
目标：沿路径 y=x 考察偏导函数的极限
沿 $y=x$ 趋于 $(0,0)$，则
$$f_x(x,x) = x\cos\frac{1}{\sqrt{2}|x|} + \frac{x^3}{(2x^2)^{3/2}}\sin\frac{1}{\sqrt{2}|x|} = x\cos\frac{1}{\sqrt{2}|x|} + \frac{x^3}{2\sqrt{2}|x|^3}\sin\frac{1}{\sqrt{2}|x|}.$$
当 $x\to0$ 时，第一项趋于0，第二项中 $\frac{x^3}{2\sqrt{2}|x|^3} = \frac{\operatorname{sgn}(x)}{2\sqrt{2}}$ 不趋于0，且 $\sin\frac{1}{\sqrt{2}|x|}$ 振荡，因此 $f_x(x,x)$ 无极限。
公式：$$\frac{x^3}{|x|^3} = \operatorname{sgn}(x)$$
提示：注意 $|x|$ 的处理，$x^3/|x|^3 = \operatorname{sgn}(x)$。
步骤 6/6
目标：得出偏导函数不连续的结论
由于沿 $y=x$ 路径 $f_x(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处极限不存在，而 $f_x(0,0)=0$，故 $f_x$ 在 $(0,0)$ 处不连续。同理可证 $f_y$ 也不连续。因此 $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处可微，但偏导函数不连续。
提示：注意偏导函数不连续并不影响可微性。
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