上海财经大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
12．设 $a_{n} \geq 0$ ，且幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的收玫半径为 $R$ ，证明： $\lim _{x \rightarrow R^{-}} \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} x^{n}=\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} R^{n}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确条件和结论
已知系数 $a_n \geq 0$，幂级数 $\sum_{n=1}^\infty a_n x^n$ 的收敛半径为 $R > 0$。需要证明：
$$\lim_{x \to R^-} \sum_{n=1}^\infty a_n x^n = \sum_{n=1}^\infty a_n R^n.$$
这里右边级数可能收敛于有限值或发散到 $+\infty$，但等式在广义实数意义下成立。
公式：$$\lim_{x \to R^-} \sum_{n=1}^\infty a_n x^n = \sum_{n=1}^\infty a_n R^n$$
提示：注意 $a_n \geq 0$ 是保证单调性的关键条件，否则结论不一定成立。
步骤 2/5
目标：利用非负性建立不等式链
由于 $a_n \geq 0$，对任意 $0 \leq x < R$ 和任意正整数 $N$，有：
$$\sum_{n=1}^N a_n x^n \leq \sum_{n=1}^\infty a_n x^n \quad \text{（部分和不超过和函数）}$$
同时，因为 $x^n \leq R^n$，所以：
$$\sum_{n=1}^N a_n x^n \leq \sum_{n=1}^N a_n R^n \leq \sum_{n=1}^\infty a_n R^n.$$
因此得到：
$$\sum_{n=1}^N a_n x^n \leq \sum_{n=1}^\infty a_n x^n \leq \sum_{n=1}^\infty a_n R^n.$$
公式：$$\sum_{n=1}^N a_n x^n \leq \sum_{n=1}^\infty a_n x^n \leq \sum_{n=1}^\infty a_n R^n$$
提示：注意最后一个不等式右边可能是 $+\infty$，但不等式仍然成立。
步骤 3/5
目标：取下极限得到下界估计
固定 $N$，令 $x \to R^-$，由多项式极限得：
$$\lim_{x \to R^-} \sum_{n=1}^N a_n x^n = \sum_{n=1}^N a_n R^n.$$
由不等式 $\sum_{n=1}^N a_n x^n \leq \sum_{n=1}^\infty a_n x^n$，取下极限得：
$$\sum_{n=1}^N a_n R^n \leq \liminf_{x \to R^-} \sum_{n=1}^\infty a_n x^n.$$
由于 $N$ 是任意的，令 $N \to \infty$，左边趋于 $\sum_{n=1}^\infty a_n R^n$，因此：
$$\sum_{n=1}^\infty a_n R^n \leq \liminf_{x \to R^-} \sum_{n=1}^\infty a_n x^n.$$
公式：$$\sum_{n=1}^\infty a_n R^n \leq \liminf_{x \to R^-} \sum_{n=1}^\infty a_n x^n$$
提示：下极限的估计需要先固定 $N$ 再取极限，最后令 $N \to \infty$，顺序不能颠倒。
步骤 4/5
目标：取上极限得到上界估计
由第二步的不等式 $\sum_{n=1}^\infty a_n x^n \leq \sum_{n=1}^\infty a_n R^n$ 对所有 $x < R$ 成立，取上极限得：
$$\limsup_{x \to R^-} \sum_{n=1}^\infty a_n x^n \leq \sum_{n=1}^\infty a_n R^n.$$
公式：$$\limsup_{x \to R^-} \sum_{n=1}^\infty a_n x^n \leq \sum_{n=1}^\infty a_n R^n$$
提示：这里直接利用整体不等式取上极限，无需分段处理。
步骤 5/5
目标：结合上下极限证明极限存在且相等
综合第三步和第四步的结果，得到：
$$\sum_{n=1}^\infty a_n R^n \leq \liminf_{x \to R^-} \sum_{n=1}^\infty a_n x^n \leq \limsup_{x \to R^-} \sum_{n=1}^\infty a_n x^n \leq \sum_{n=1}^\infty a_n R^n.$$
因此所有不等式取等号，即：
$$\liminf_{x \to R^-} \sum_{n=1}^\infty a_n x^n = \limsup_{x \to R^-} \sum_{n=1}^\infty a_n x^n = \sum_{n=1}^\infty a_n R^n.$$
故极限存在且等于该值。
公式：$$\lim_{x \to R^-} \sum_{n=1}^\infty a_n x^n = \sum_{n=1}^\infty a_n R^n$$
提示：上下极限相等是极限存在的充要条件，这里通过夹逼得到。
步骤 6/7
目标：估计误差并证明极限
考虑 $\left| \sum_{n=1}^{\infty} a_n R^n t^n - S \right| = \left| (1-t) \sum_{n=1}^{\infty} (S_n - S) t^n \right|$。由于 $S_n \to S$，对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $N$ 使得 $|S_n - S| < \varepsilon/2$ 对所有 $n \geq N$ 成立。将求和分为 $n < N$ 和 $n \geq N$ 两部分：$\left| (1-t) \sum_{n=1}^{N-1} (S_n - S) t^n \right| \leq (1-t) M (N-1)$，其中 $M = \max_{1 \leq n < N} |S_n - S|$；$\left| (1-t) \sum_{n=N}^{\infty} (S_n - S) t^n \right| \leq (1-t) \cdot \frac{\varepsilon}{2} \cdot \frac{t^N}{1-t} \leq \frac{\varepsilon}{2}$。当 $t$ 充分接近1时，$(1-t) M (N-1) < \varepsilon/2$，从而整体小于 $\varepsilon$。因此 $\lim_{t \to 1^-} \sum a_n R^n t^n = S$。
公式：误差估计：$|\sum a_n R^n t^n - S| \leq (1-t) \sum_{n=1}^{\infty} |S_n - S| t^n$。
提示：注意 $\sum_{n=N}^{\infty} t^n = t^N/(1-t)$，这是关键。
步骤 7/7
目标：得出结论
由 $t = x/R$，当 $x \to R^-$ 时 $t \to 1^-$，因此 $\lim_{x \to R^-} \sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n = \lim_{t \to 1^-} \sum_{n=1}^{\infty} a_n R^n t^n = \sum_{n=1}^{\infty} a_n R^n$。证毕。
提示：注意 $a_n \geq 0$ 保证了 $S_n$ 单调递增，但证明中未直接使用，实际上阿贝尔定理对一般 $a_n$ 也成立，只要级数在 $x=R$ 收敛。
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