东北大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
1．（15 分）计算极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\right)^{n}$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：化简内部对数表达式
原极限为 $\lim_{n \to \infty} \left( \ln \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} \right)^{n}$。利用对数性质 $\ln(a^b)=b\ln a$，有 $\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} = n \ln\left(1+\frac{1}{n}\right)$，因此极限化为 $\lim_{n\to\infty} \left[ n \ln\left(1+\frac{1}{n}\right) \right]^{n}$。
公式：$\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} = n \ln\left(1+\frac{1}{n}\right)$
提示：注意括号位置：先取对数再乘方，不是 $\ln\left[(1+1/n)^n\right]$ 的 $n$ 次方。
步骤 2/5
目标：分析底数的渐近行为
当 $n\to\infty$ 时，$\frac{1}{n}\to 0$，利用 $\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+O(x^3)$，令 $x=1/n$，得 $\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)=\frac{1}{n}-\frac{1}{2n^2}+O\left(\frac{1}{n^3}\right)$。于是 $n\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)=1-\frac{1}{2n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right)$，即底数略小于1。
公式：$n\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)=1-\frac{1}{2n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right)$
提示：展开时注意保留足够阶数，后续取对数需要用到一次项。
步骤 3/5
目标：转化为指数形式并换元
设 $a_n=\left[ n \ln\left(1+\frac{1}{n}\right) \right]^{n}$，取自然对数得 $\ln a_n = n \ln\left[ n \ln\left(1+\frac{1}{n}\right) \right]$。令 $t=1/n$，则 $n\to\infty$ 时 $t\to 0^+$，且 $n\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)=\frac{\ln(1+t)}{t}$，于是 $\ln a_n = \frac{1}{t} \ln\left( \frac{\ln(1+t)}{t} \right)$。
公式：$\ln a_n = \frac{1}{t} \ln\left( \frac{\ln(1+t)}{t} \right)$
提示：换元后注意 $t$ 趋近于 $0^+$，且分母 $t$ 不为零。
步骤 4/5
目标：展开 $\frac{\ln(1+t)}{t}$ 并取对数
由 $\ln(1+t)=t-\frac{t^2}{2}+\frac{t^3}{3}-\cdots$，得 $\frac{\ln(1+t)}{t}=1-\frac{t}{2}+\frac{t^2}{3}-\cdots$。再取对数：$\ln\left(\frac{\ln(1+t)}{t}\right)=\ln\left(1-\frac{t}{2}+O(t^2)\right)$。利用 $\ln(1+u)=u-\frac{u^2}{2}+\cdots$，其中 $u=-\frac{t}{2}+O(t^2)$，得 $\ln\left(\frac{\ln(1+t)}{t}\right)=-\frac{t}{2}+O(t^2)$。
公式：$\ln\left(\frac{\ln(1+t)}{t}\right) = -\frac{t}{2}+O(t^2)$
提示：复合展开时注意 $O$ 项的处理，确保阶数正确。
步骤 5/5
目标：代回求极限并得出结果
将展开式代入 $\ln a_n = \frac{1}{t}\left(-\frac{t}{2}+O(t^2)\right) = -\frac{1}{2}+O(t)$。当 $t\to 0^+$ 时，$\ln a_n \to -\frac{1}{2}$，因此 $a_n \to e^{-1/2}$。故原极限为 $e^{-\frac{1}{2}}$。
公式：$\lim_{n\to\infty} \left( \ln \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} \right)^{n} = e^{-\frac{1}{2}}$
提示：最后结果是指数形式，注意 $e^{-1/2}$ 也可写作 $\frac{1}{\sqrt{e}}$。
步骤 6/6
目标：得出最终结果
因此原极限 $= e^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{e}}$。
提示：最终结果写成 $\frac{1}{\sqrt{e}}$ 或 $e^{-1/2}$ 均可。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。