📝 东北大学 2026年数学分析真题

1．（15 分）计算极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\right)^{n}$ ．

2．（15 分）将 $f(x)=\ln x$ 按 $\displaystyle \frac{x-1}{x+1}$ 进行泰勒展开．

3．（15 分）求积分 $I(m, n)=\int_{0}^{1}(\ln t)^{m} t^{n} \mathrm{~d} t\left(m, n \in \mathbb{N}^{*}\right)$ ．

4．（15 分）计算三重积分 $\iiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 1} \mathrm{e}^{|z|} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ．

5．（15 分）（1）叙述定义： $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=-\infty$ ．
（2）叙述定义： $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x) \neq A$ ．

6．（15 分）证明：函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(n x \mathrm{e}^{-n x}-(n-1) x \mathrm{e}^{(n-1) x}\right)$ 在 $[0,1]$ 收敛但不一致收敛且在该区间连续．

7．（15分）设 $f(x)$ 在 $\left[x_{1}, x_{2}\right]$ 连续 $\left(x_{1} x_{2}>0\right)$ ，在 $\left(x_{1}, x_{2}\right)$ 可导，证明：存在 $\xi \in\left(x_{1}, x_{2}\right)$ ，使得

$$
\frac{1}{x_{2}-x_{1}}\left|\begin{array}{ll}
x_{1} & f\left(x_{1}\right) \\
x_{2} & f\left(x_{2}\right)
\end{array}\right|=\xi f^{\prime}(\xi)-f(\xi) .
$$

8．（15分）设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 有二阶导数，且满足

$$
f(x)+f^{\prime \prime}(x)=-x g(x) f^{\prime}(x),
$$

其中 $g(x) \geqslant 0$ ．证明：$|f(x)|$ 有界．

9．（15 分）设 $f(x)$ 为 $[a, b]$ 的二阶可导函数，且 $f^{\prime \prime}(x) \leqslant 0, f(x) \geqslant 0$ ，证明：

$$
\max _{x \in[a, b]} f(x) \leqslant \frac{2}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x .
$$

10．（15 分）证明：$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{n}, x \in \mathbb{Q} \\ 0, x \in \mathbb{Q}^{c}\end{array}\right.$ 在无理点连续，在有理点不连续．