东北大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
7．（15分）设 $f(x)$ 在 $\left[x_{1}, x_{2}\right]$ 连续 $\left(x_{1} x_{2}>0\right)$ ，在 $\left(x_{1}, x_{2}\right)$ 可导，证明：存在 $\xi \in\left(x_{1}, x_{2}\right)$ ，使得
$$
\frac{1}{x_{2}-x_{1}}\left|\begin{array}{ll}
x_{1} & f\left(x_{1}\right) \\
x_{2} & f\left(x_{2}\right)
\end{array}\right|=\xi f^{\prime}(\xi)-f(\xi) .
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：化简行列式，明确要证明的等式
计算行列式：
\[
\begin{vmatrix}
x_1 & f(x_1) \\
x_2 & f(x_2)
\end{vmatrix} = x_1 f(x_2) - x_2 f(x_1)
\]
因此原题左边化为：
\[
\frac{1}{x_2 - x_1} \big( x_1 f(x_2) - x_2 f(x_1) \big)
\]
需要证明存在 \(\xi \in (x_1, x_2)\) 使得该式等于 \(\xi f'(\xi) - f(\xi)\)。
公式：\frac{x_1 f(x_2) - x_2 f(x_1)}{x_2 - x_1} = \xi f'(\xi) - f(\xi)
提示：注意条件 \(x_1 x_2 > 0\) 保证分母不为零，且区间内 \(x\) 不变号。
步骤 2/5
目标：构造辅助函数，为应用柯西中值定理做准备
观察右边形式 \(\xi f'(\xi) - f(\xi)\)，考虑函数：
\[
u(x) = \frac{f(x)}{x}, \quad v(x) = \frac{1}{x}
\]
由于 \(x_1 x_2 > 0\)，\(x\) 在区间上不为零，故 \(u(x), v(x)\) 在 \([x_1, x_2]\) 连续，在 \((x_1, x_2)\) 可导。
公式：u(x) = \frac{f(x)}{x}, \quad v(x) = \frac{1}{x}
提示：构造的关键是让柯西中值定理的比值能同时产生所需分子和分母形式。
步骤 3/5
目标：应用柯西中值定理，计算左边比值
由柯西中值定理，存在 \(\xi \in (x_1, x_2)\) 使得：
\[
\frac{u(x_2) - u(x_1)}{v(x_2) - v(x_1)} = \frac{u'(\xi)}{v'(\xi)}
\]
计算左边：
\[
u(x_2) - u(x_1) = \frac{f(x_2)}{x_2} - \frac{f(x_1)}{x_1} = \frac{x_1 f(x_2) - x_2 f(x_1)}{x_1 x_2}
\]
\[
v(x_2) - v(x_1) = \frac{1}{x_2} - \frac{1}{x_1} = \frac{x_1 - x_2}{x_1 x_2}
\]
因此：
\[
\frac{u(x_2) - u(x_1)}{v(x_2) - v(x_1)} = \frac{\frac{x_1 f(x_2) - x_2 f(x_1)}{x_1 x_2}}{\frac{x_1 - x_2}{x_1 x_2}} = \frac{x_1 f(x_2) - x_2 f(x_1)}{x_1 - x_2} = -\frac{x_1 f(x_2) - x_2 f(x_1)}{x_2 - x_1}
\]
公式：\frac{u(x_2)-u(x_1)}{v(x_2)-v(x_1)} = -\frac{x_1 f(x_2) - x_2 f(x_1)}{x_2 - x_1}
提示：注意分母 \(x_1 - x_2 = -(x_2 - x_1)\)，符号处理要仔细。
步骤 4/5
目标：计算柯西中值定理右边的导数比
求导：
\[
u'(x) = \frac{x f'(x) - f(x)}{x^2}, \quad v'(x) = -\frac{1}{x^2}
\]
于是：
\[
\frac{u'(\xi)}{v'(\xi)} = \frac{\frac{\xi f'(\xi) - f(\xi)}{\xi^2}}{-\frac{1}{\xi^2}} = -\big(\xi f'(\xi) - f(\xi)\big)
\]
公式：\frac{u'(\xi)}{v'(\xi)} = -\big(\xi f'(\xi) - f(\xi)\big)
提示：注意 \(v'(x) = -1/x^2\)，负号不要遗漏。
步骤 5/5
目标：联立等式，得出结论
由柯西中值定理，左右相等：
\[
-\frac{x_1 f(x_2) - x_2 f(x_1)}{x_2 - x_1} = -\big(\xi f'(\xi) - f(\xi)\big)
\]
两边同时乘以 \(-1\)，即得：
\[
\frac{x_1 f(x_2) - x_2 f(x_1)}{x_2 - x_1} = \xi f'(\xi) - f(\xi)
\]
这正是要证明的等式。
公式：\frac{x_1 f(x_2) - x_2 f(x_1)}{x_2 - x_1} = \xi f'(\xi) - f(\xi)
提示：最后一步消去负号时，注意等式两边同时乘以 \(-1\) 即可。
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