东北大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
2．（15 分）将 $f(x)=\ln x$ 按 $\displaystyle \frac{x-1}{x+1}$ 进行泰勒展开．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：引入变量替换，将原函数转化为关于新变量的函数
令 $t = \frac{x-1}{x+1}$，反解出 $x$ 用 $t$ 表示。由 $t = \frac{x-1}{x+1}$ 两边乘以 $x+1$ 得 $t(x+1) = x-1$，即 $tx + t = x - 1$，移项得 $tx - x = -1 - t$，即 $x(t-1) = -(1+t)$，所以 $x = \frac{1+t}{1-t}$。注意 $x>0$ 时 $|t|<1$，保证展开收敛。
公式：x = \frac{1+t}{1-t}
提示：反解时注意符号，移项要仔细，确保分母不为零。
步骤 2/5
目标：将原函数用新变量表示
将 $x = \frac{1+t}{1-t}$ 代入 $f(x) = \ln x$，得到 $\ln x = \ln\left(\frac{1+t}{1-t}\right)$。利用对数性质 $\ln\left(\frac{A}{B}\right) = \ln A - \ln B$，得 $\ln\left(\frac{1+t}{1-t}\right) = \ln(1+t) - \ln(1-t)$。
公式：\ln x = \ln(1+t) - \ln(1-t)
提示：注意对数运算性质，确保 $1+t>0$ 且 $1-t>0$，即 $|t|<1$。
步骤 3/5
目标：分别展开 $\ln(1+t)$ 和 $\ln(1-t)$ 为幂级数
当 $|t|<1$ 时，有标准展开：$\ln(1+t) = t - \frac{t^2}{2} + \frac{t^3}{3} - \frac{t^4}{4} + \cdots = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{t^n}{n}$；$\ln(1-t) = -t - \frac{t^2}{2} - \frac{t^3}{3} - \frac{t^4}{4} - \cdots = -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{t^n}{n}$。
公式：\ln(1+t) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{t^n}{n}, \quad \ln(1-t) = -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{t^n}{n}
提示：注意 $\ln(1-t)$ 的展开中所有项都是负号，不要遗漏负号。
步骤 4/5
目标：相减并化简得到 $\ln x$ 关于 $t$ 的幂级数
计算 $\ln(1+t) - \ln(1-t) = \left(t - \frac{t^2}{2} + \frac{t^3}{3} - \frac{t^4}{4} + \cdots\right) - \left(-t - \frac{t^2}{2} - \frac{t^3}{3} - \frac{t^4}{4} - \cdots\right)$。合并同类项：$t - (-t) = 2t$，$-\frac{t^2}{2} - \left(-\frac{t^2}{2}\right) = 0$，$\frac{t^3}{3} - \left(-\frac{t^3}{3}\right) = \frac{2t^3}{3}$，以此类推。可见偶数次项抵消，奇数次项加倍，故 $\ln\left(\frac{1+t}{1-t}\right) = 2\left(t + \frac{t^3}{3} + \frac{t^5}{5} + \cdots\right) = 2\sum_{n=0}^{\infty} \frac{t^{2n+1}}{2n+1}$。
公式：\ln\left(\frac{1+t}{1-t}\right) = 2\sum_{n=0}^{\infty} \frac{t^{2n+1}}{2n+1}
提示：注意偶数次项完全抵消，只有奇数次项保留，系数为 $2/(2n+1)$。
步骤 5/5
目标：将 $t$ 换回原变量 $x$，得到最终展开式
由 $t = \frac{x-1}{x+1}$ 代入上式，得 $\ln x = 2\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2n+1} \left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{2n+1}$，收敛条件为 $\left|\frac{x-1}{x+1}\right| < 1$，等价于 $x > 0$。
公式：\ln x = 2\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2n+1}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{2n+1}, \quad \left|\frac{x-1}{x+1}\right| < 1
提示：最终结果中 $t$ 要完全替换回 $x$，注意收敛条件对应 $x>0$。
步骤 6/7
目标：写出最终展开式
令 $n=2k+1$，$k=0,1,2,\dots$，则
$\ln x = 2\sum_{k=0}^{\infty} \frac{t^{2k+1}}{2k+1} = 2\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{2k+1} \left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{2k+1}$。
公式：$\ln x = 2\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{2k+1} \left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{2k+1}$
提示：注意 $t$ 要代回 $\frac{x-1}{x+1}$，并注明收敛条件 $|\frac{x-1}{x+1}|<1$。
步骤 7/7
目标：注明收敛域
展开式成立的条件是 $|t|<1$，即 $\left|\frac{x-1}{x+1}\right|<1$，解得 $x>0$。
提示：注意 $\ln x$ 定义域为 $x>0$，与收敛域一致。
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