东北大学 2026年数学分析第0题

题目中函数定义为： \[ f(x)=\begin{cases} \frac{1}{n}, & x \in \mathbb{Q} \\ 0, & x \in \mathbb{Q}^{c} \end{cases} \] 但这里需要补充说明：对于有理数，通常将其表示为既约分数 \(x = \frac{p}{q}\)（\(q>0\)），并取 \(n = q\)，即 \(f(x) = \frac{1}{q}\)。因此更准确的表述是： \[ f(x)=\begin{cases} \frac{1}{q}, & \text{若 } x = \frac{p}{q} \text{ 为既约分数，} q>0 \\ 0, & \text{若 } x \text{ 为无理数} \end{cases} \] 我们要证明：在任意无理点 \(x_0\) 处函数连续，在任意有理点 \(x_0\) 处函数不连续。

设 \(x_0\) 为任意无理数，则 \(f(x_0)=0\)。要证明 \(f\) 在 \(x_0\) 连续，即对任意 \(\varepsilon > 0\)，存在 \(\delta > 0\)，使得当 \(|x - x_0| < \delta\) 时，有 \(|f(x) - f(x_0)| = |f(x)| < \varepsilon\)。

取正整数 \(N\) 使得 \(\frac{1}{N} < \varepsilon\)。分母不超过 \(N\) 的有理数（即形如 \(\frac{p}{q}\) 且 \(1 \leq q \leq N\) 的既约分数）只有有限个。由于 \(x_0\) 是无理数，它不与任何有理数重合，因此这些有限个有理数中，离 \(x_0\) 最近的距离 \(d > 0\)。取 \(\delta = \frac{d}{2}\)，则区间 \((x_0-\delta, x_0+\delta)\) 内不包含任何分母 \(\leq N\) 的有理数。

当 \(|x - x_0| < \delta\) 时，分两种情况： - 若 \(x\) 是无理数，则 \(f(x)=0\)，显然 \(|f(x)|=0<\varepsilon\)。 - 若 \(x\) 是有理数，则其分母 \(q > N\)（因为分母 \(\leq N\) 的有理数不在区间内），于是 \(f(x)=\frac{1}{q} < \frac{1}{N} < \varepsilon\)。 因此对所有 \(x\) 满足条件的点，都有 \(|f(x)|<\varepsilon\)，故 \(f\) 在无理点 \(x_0\) 连续。

设 \(x_0 = \frac{p}{q}\) 为任意既约有理数，则 \(f(x_0) = \frac{1}{q} > 0\)。要证明 \(f\) 在 \(x_0\) 不连续，即存在某个 \(\varepsilon_0 > 0\)，使得对任意 \(\delta > 0\)，都能找到 \(x\) 满足 \(|x - x_0| < \delta\) 但 \(|f(x) - f(x_0)| \geq \varepsilon_0\)。

取 \(\varepsilon_0 = \frac{1}{2q}\)。由于无理数在实数中稠密，对任意 \(\delta > 0\)，区间 \((x_0-\delta, x_0+\delta)\) 内必存在无理数 \(x\)。对于这样的 \(x\)，有 \(f(x)=0\)，于是： \[ |f(x) - f(x_0)| = \left|0 - \frac{1}{q}\right| = \frac{1}{q} > \frac{1}{2q} = \varepsilon_0 \] 因此，无论 \(\delta\) 多小，总能找到点使得函数值差大于等于 \(\varepsilon_0\)，故 \(f\) 在有理点 \(x_0\) 不连续。

由以上证明可知： - 对任意无理点 \(x_0\)，函数 \(f\) 在 \(x_0\) 处连续； - 对任意有理点 \(x_0\)，函数 \(f\) 在 \(x_0\) 处不连续。 因此原命题得证。