东北大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
8．（15分）设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 有二阶导数，且满足
$$
f(x)+f^{\prime \prime}(x)=-x g(x) f^{\prime}(x),
$$
其中 $g(x) \geqslant 0$ ．证明：$|f(x)|$ 有界．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：对方程进行变形，明确已知条件
已知 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 有二阶导数，且满足方程：
$$
f(x) + f''(x) = -x g(x) f'(x),
$$
其中 $g(x) \geqslant 0$。将其改写为：
$$
f''(x) + f(x) = -x g(x) f'(x).
$$
这个形式类似于二阶线性微分方程，但右端依赖于 $f'(x)$ 和 $x$，且系数非正。
公式：f''(x) + f(x) = -x g(x) f'(x)
提示：注意 $g(x) \geqslant 0$ 是后续判断符号的关键条件。
步骤 2/6
目标：构造能量函数 $E(x)$ 并求导
为了利用导数信息证明有界性，考虑函数及其导数的平方和，定义能量函数：
$$
E(x) = [f(x)]^2 + [f'(x)]^2.
$$
对 $E(x)$ 求导：
$$
E'(x) = 2 f(x) f'(x) + 2 f'(x) f''(x) = 2 f'(x) [f(x) + f''(x)].
$$
公式：E(x) = f(x)^2 + f'(x)^2, \quad E'(x) = 2 f'(x)[f(x) + f''(x)]
提示：能量函数是处理二阶微分方程有界性问题的常用技巧。
步骤 3/6
目标：代入已知条件简化 $E'(x)$
由已知条件 $f(x) + f''(x) = -x g(x) f'(x)$，代入 $E'(x)$ 得：
$$
E'(x) = 2 f'(x) \cdot \left( -x g(x) f'(x) \right) = -2x g(x) [f'(x)]^2.
$$
公式：E'(x) = -2x g(x) [f'(x)]^2
提示：注意 $[f'(x)]^2 \geq 0$，$g(x) \geq 0$，因此 $E'(x)$ 的符号完全由 $-x$ 决定。
步骤 4/6
目标：分析 $E'(x)$ 的符号，得到 $E(x)$ 的单调性
由于 $g(x) \geq 0$ 且 $[f'(x)]^2 \geq 0$，有：
- 当 $x \geq 0$ 时，$-2x \leq 0$，故 $E'(x) \leq 0$，即 $E(x)$ 在 $[0, +\infty)$ 上单调递减；
- 当 $x \leq 0$ 时，$-2x \geq 0$，故 $E'(x) \geq 0$，即 $E(x)$ 在 $(-\infty, 0]$ 上单调递增。
公式：x \geq 0 \Rightarrow E'(x) \leq 0; \quad x \leq 0 \Rightarrow E'(x) \geq 0
提示：单调性分析要分区间进行，注意 $x=0$ 是分界点。
步骤 5/6
目标：由单调性推出 $E(x)$ 的有界性
由单调性可知：
- 对任意 $x \leq 0$，$E(x)$ 在 $(-\infty, 0]$ 上递增，故 $E(x) \leq E(0)$；
- 对任意 $x \geq 0$，$E(x)$ 在 $[0, +\infty)$ 上递减，故 $E(x) \leq E(0)$。
因此对所有实数 $x$，都有 $E(x) \leq E(0)$。
公式：\forall x \in (-\infty, +\infty), \quad E(x) \leq E(0)
提示：注意 $E(0)$ 是一个确定的常数，由 $f(0)$ 和 $f'(0)$ 决定。
步骤 6/6
目标：由 $E(x)$ 的有界性得到 $|f(x)|$ 有界
因为 $E(x) = f(x)^2 + f'(x)^2 \geq f(x)^2$，所以由 $E(x) \leq E(0)$ 得：
$$
f(x)^2 \leq E(0) \quad \Rightarrow \quad |f(x)| \leq \sqrt{E(0)}.
$$
这表明 $|f(x)|$ 被常数 $\sqrt{E(0)}$ 控制，从而有界。
公式：|f(x)| \leq \sqrt{E(0)} = \sqrt{f(0)^2 + f'(0)^2}
提示：不需要解出 $f(x)$ 的具体形式，仅通过能量函数即可完成证明。
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