东北大学 2026年数学分析第0题

已知 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上二阶可导，且 $f''(x) \leq 0$，说明 $f(x)$ 是凹函数（上凸函数）。凹函数的图像位于连接任意两点的弦的上方，即对任意 $x_1,x_2 \in [a,b]$ 和 $t \in [0,1]$，有 $f(tx_1+(1-t)x_2) \geq t f(x_1)+(1-t)f(x_2)$。同时 $f(x) \geq 0$，函数值非负。要证明 $\max_{x\in[a,b]} f(x) \leq \frac{2}{b-a}\int_a^b f(x) dx$，即最大值不超过区间上平均值的两倍。

设 $M = \max_{x\in[a,b]} f(x)$，并设最大值在点 $c \in [a,b]$ 处取到，即 $f(c)=M$。由于凹函数在内部极值点处导数为零（若 $c$ 在开区间内），但 $c$ 也可能在端点，因此需要统一处理。我们利用凹函数的性质构造下界，而不依赖导数。

由凹函数性质，连接点 $(a, f(a))$ 和 $(c, M)$ 的直线位于函数图像下方。由于 $f(a) \geq 0$，直线 $L_1(x) = f(a) + \frac{M-f(a)}{c-a}(x-a)$ 满足 $f(x) \geq L_1(x)$ 对 $x \in [a,c]$。进一步，因为 $f(a) \geq 0$，我们可以用更小的直线 $\frac{M}{c-a}(x-a)$ 来替代（即从 $(a,0)$ 到 $(c,M)$ 的直线），从而得到 $f(x) \geq \frac{M}{c-a}(x-a)$ 对 $x \in [a,c]$ 成立。同理，在 $[c,b]$ 上，有 $f(x) \geq \frac{M}{b-c}(b-x)$。

对上述两个线性下界分别积分，得到两个三角形的面积：左边三角形底为 $c-a$，高为 $M$，面积为 $\frac12 (c-a)M$；右边三角形底为 $b-c$，高为 $M$，面积为 $\frac12 (b-c)M$。因此，$\int_a^b f(x) dx \geq \frac12 (c-a)M + \frac12 (b-c)M = \frac12 (b-a)M$。

由 $\int_a^b f(x) dx \geq \frac12 (b-a)M$，两边同时乘以 $\frac{2}{b-a}$（注意 $b-a>0$），得到 $\frac{2}{b-a}\int_a^b f(x) dx \geq M$，即 $M \leq \frac{2}{b-a}\int_a^b f(x) dx$。这正是要证明的不等式。无论最大值点 $c$ 在区间内部还是端点（此时其中一个三角形退化为0，但总面积仍为 $\frac12(b-a)M$），结论均成立。

由于 $f$ 是凹函数，对于任意 $x \in [a,b]$，有 $f(x) \geq \frac{b-x}{b-a}f(a) + \frac{x-a}{b-a}f(b)$。两边积分得 $\int_a^b f(x) \, dx \geq \frac{b-a}{2}(f(a)+f(b))$，即 $\frac{2}{b-a}\int_a^b f(x) \, dx \geq f(a)+f(b)$。

由 $f(a)+f(b) \geq \max\{f(a), f(b)\}$，得 $\frac{2}{b-a}\int_a^b f(x) \, dx \geq \max\{f(a), f(b)\}$。因此 $g(a)=f(a)-\frac{2}{b-a}\int_a^b f \leq 0$，$g(b)=f(b)-\frac{2}{b-a}\int_a^b f \leq 0$。

定义 $g(x)=f(x)-\frac{2}{b-a}\int_a^b f(t)\,dt$，则 $g''(x)=f''(x)\leq 0$，所以 $g$ 也是凹函数。凹函数的最大值在端点取得，因此 $\max_{x\in[a,b]} g(x) = \max\{g(a), g(b)\} \leq 0$，从而 $g(x) \leq 0$ 对所有 $x$ 成立，即 $f(x) \leq \frac{2}{b-a}\int_a^b f(t)\,dt$。取最大值即得 $\max_{x\in[a,b]} f(x) \leq \frac{2}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$。