东北大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
5．（15 分）（1）叙述定义： $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=-\infty$ ．
（2）叙述定义： $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x) \neq A$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：叙述极限 \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty\) 的定义
定义：对于任意给定的正数 \(M\)，总存在一个正数 \(X\)，使得当 \(x > X\) 时，有 \(f(x) < -M\)。这表示当 \(x\) 无限增大时，\(f(x)\) 可以小于任何预先指定的负数，即趋向负无穷。
公式：\forall M > 0,\ \exists X > 0,\ \forall x > X:\ f(x) < -M
提示：注意这里 \(M\) 是任意正数，\(-M\) 表示任意负数；不要混淆为 \(f(x) < M\)。
步骤 2/5
目标：解释定义中的符号含义
符号 \(\forall M > 0\) 表示“对任意正数 \(M\)”，\(\exists X > 0\) 表示“存在一个正数 \(X\)”，\(\forall x > X\) 表示“对所有大于 \(X\) 的 \(x\)”，条件 \(f(x) < -M\) 确保函数值足够小。
公式：无新公式
提示：理解 \(M\) 的作用：\(M\) 越大，\(-M\) 越小，要求 \(f(x)\) 更负。
步骤 3/5
目标：叙述极限 \(\lim_{x \to 0^{+}} f(x) \neq A\) 的定义
首先回忆右极限等于 \(A\) 的定义：\(\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0,\ \forall x(0 < x < \delta):\ |f(x)-A| < \varepsilon\)。其否定是：存在某个 \(\varepsilon_0 > 0\)，使得对任意 \(\delta > 0\)，总能找到 \(x\) 满足 \(0 < x < \delta\) 且 \(|f(x)-A| \ge \varepsilon_0\)。
公式：\exists \varepsilon_0 > 0,\ \forall \delta > 0,\ \exists x(0 < x < \delta):\ |f(x)-A| \ge \varepsilon_0
提示：注意这是极限不成立的严格定义，不是极限存在但不等于 \(A\)。
步骤 4/5
目标：解释否定定义中的逻辑
否定定义中，\(\exists \varepsilon_0 > 0\) 是固定的“反例精度”，\(\forall \delta > 0\) 表示无论取多小的邻域，都能找到点使函数值远离 \(A\) 至少 \(\varepsilon_0\)。这等价于 \(A\) 不是右极限。
公式：无新公式
提示：注意量词顺序：先存在 \(\varepsilon_0\)，再对任意 \(\delta\)，存在 \(x\)。
步骤 5/5
目标：整理最终答案
将两个定义用标准数学语言写出：
（1）\(\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty\) 的定义：\(\forall M > 0,\ \exists X > 0,\ \forall x > X:\ f(x) < -M\)。
（2）\(\lim_{x \to 0^{+}} f(x) \neq A\) 的定义：\(\exists \varepsilon_0 > 0,\ \forall \delta > 0,\ \exists x(0 < x < \delta):\ |f(x)-A| \ge \varepsilon_0\)。
公式：见详细内容
提示：确保书写规范，量词顺序不可颠倒。
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