东北大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
4．（15 分）计算三重积分 $\iiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 1} \mathrm{e}^{|z|} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：分析对称性，简化积分区域
积分区域为球体 $x^2+y^2+z^2 \le 1$，被积函数 $\mathrm{e}^{|z|}$ 是 $z$ 的偶函数。利用对称性，将积分化为上半球区域的两倍：
$$ I = \iiint_{x^2+y^2+z^2 \le 1} \mathrm{e}^{|z|} \, \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z = 2 \iiint_{\substack{x^2+y^2+z^2 \le 1 \\ z \ge 0}} \mathrm{e}^{z} \, \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z $$
公式：I = 2 \iiint_{z\ge 0, x^2+y^2+z^2\le 1} \mathrm{e}^{z} \, \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z
提示：注意被积函数只依赖于 |z|，且区域关于 z=0 对称，因此可以只计算上半球再乘以 2。
步骤 2/7
目标：选择坐标系，采用“先二后一”法
对于固定的 $z \in [0,1]$，截面为圆 $x^2+y^2 \le 1-z^2$，面积为 $\pi(1-z^2)$。于是上半球部分的三重积分化为：
$$ I_{\text{上}} = \int_{0}^{1} \mathrm{e}^{z} \left( \iint_{x^2+y^2 \le 1-z^2} \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y \right) \mathrm{d}z = \int_{0}^{1} \mathrm{e}^{z} \cdot \pi (1-z^2) \, \mathrm{d}z $$
公式：\iint_{x^2+y^2 \le 1-z^2} \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y = \pi(1-z^2)
提示：“先二后一”法适用于被积函数只依赖于一个变量且截面面积容易计算的情形。
步骤 3/7
目标：写出整体积分表达式
将上半球的结果乘以 2，得到：
$$ I = 2 \pi \int_{0}^{1} \mathrm{e}^{z} (1 - z^2) \, \mathrm{d}z $$
公式：I = 2\pi \int_0^1 \mathrm{e}^z (1-z^2) \, \mathrm{d}z
提示：注意系数 2 来自对称性，不要遗漏。
步骤 4/7
目标：拆分积分并计算第一部分
将积分拆分为两个部分：
$$ \int_0^1 \mathrm{e}^z (1-z^2) \, \mathrm{d}z = \int_0^1 \mathrm{e}^z \, \mathrm{d}z - \int_0^1 z^2 \mathrm{e}^z \, \mathrm{d}z $$
计算第一个积分：
$$ \int_0^1 \mathrm{e}^z \, \mathrm{d}z = \mathrm{e} - 1 $$
公式：\int_0^1 \mathrm{e}^z \, \mathrm{d}z = \mathrm{e} - 1
提示：基本积分公式，注意上下限代入。
步骤 5/7
目标：用分部积分计算第二部分
计算 $\int_0^1 z^2 \mathrm{e}^z \, \mathrm{d}z$。使用分部积分或已知公式：
$$ \int z^2 \mathrm{e}^z \, \mathrm{d}z = \mathrm{e}^z (z^2 - 2z + 2) + C $$
代入上下限：
$$ \left[ \mathrm{e}^z (z^2 - 2z + 2) \right]_0^1 = \mathrm{e}^1 (1 - 2 + 2) - \mathrm{e}^0 (0 - 0 + 2) = \mathrm{e} \cdot 1 - 2 = \mathrm{e} - 2 $$
公式：\int_0^1 z^2 \mathrm{e}^z \, \mathrm{d}z = \mathrm{e} - 2
提示：分部积分时注意符号和常数项，也可用表格法验证。
步骤 6/7
目标：合并结果得到定积分值
将两部分相减：
$$ \int_0^1 \mathrm{e}^z (1-z^2) \, \mathrm{d}z = (\mathrm{e} - 1) - (\mathrm{e} - 2) = 1 $$
公式：\int_0^1 \mathrm{e}^z (1-z^2) \, \mathrm{d}z = 1
提示：注意抵消后结果为简单常数。
步骤 7/7
目标：得到最终结果
代入 $I = 2\pi \times 1 = 2\pi$，因此原三重积分的值为：
$$ \boxed{2\pi} $$
公式：I = 2\pi
提示：最终答案要加框表示。
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