东北大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
3．（15 分）求积分 $I(m, n)=\int_{0}^{1}(\ln t)^{m} t^{n} \mathrm{~d} t\left(m, n \in \mathbb{N}^{*}\right)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：变量替换，将积分区间从(0,1)变换到(0,+∞)
令 $t = e^{-x}$，则当 $t$ 从 $0$ 到 $1$ 时，$x$ 从 $+\infty$ 到 $0$。计算微分：$dt = -e^{-x} dx$，且 $\ln t = -x$，$t^n = e^{-nx}$。代入原积分：
$$I(m,n) = \int_{t=0}^{1} (\ln t)^m t^n \, dt = \int_{x=+\infty}^{0} (-x)^m e^{-nx} \cdot (-e^{-x}) \, dx.$$
两个负号相乘得正，交换积分限：
$$I(m,n) = \int_{0}^{\infty} (-x)^m e^{-(n+1)x} \, dx = (-1)^m \int_{0}^{\infty} x^m e^{-(n+1)x} \, dx.$$
公式：$t = e^{-x}$，$\ln t = -x$，$dt = -e^{-x}dx$
提示：注意 $t \to 0^+$ 对应 $x \to +\infty$，积分限变换时不要遗漏负号；$(-x)^m = (-1)^m x^m$ 要正确提取符号。
步骤 2/4
目标：将积分化为Gamma函数形式
考虑积分 $\int_0^\infty x^m e^{-(n+1)x} \, dx$。令 $u = (n+1)x$，则 $x = \frac{u}{n+1}$，$dx = \frac{du}{n+1}$。代入得：
$$\int_0^\infty x^m e^{-(n+1)x} \, dx = \int_0^\infty \left(\frac{u}{n+1}\right)^m e^{-u} \cdot \frac{du}{n+1} = \frac{1}{(n+1)^{m+1}} \int_0^\infty u^m e^{-u} \, du.$$
公式：$\int_0^\infty u^m e^{-u} \, du = \Gamma(m+1) = m!$
提示：注意幂次：$x^m$ 替换后得到 $u^m/(n+1)^m$，再乘以 $dx$ 的因子 $1/(n+1)$，总指数为 $m+1$。
步骤 3/4
目标：利用Gamma函数计算积分结果
由Gamma函数的定义，对于正整数 $m$，有 $\Gamma(m+1) = m!$。因此：
$$\int_0^\infty u^m e^{-u} \, du = m!.$$
代入上一步结果：
$$\int_0^\infty x^m e^{-(n+1)x} \, dx = \frac{m!}{(n+1)^{m+1}}.$$
公式：$\Gamma(m+1) = m!$
提示：Gamma函数与阶乘的关系仅当参数为正整数时成立；此处 $m \in \mathbb{N}^*$，故可直接使用。
步骤 4/4
目标：得到最终表达式
将上一步结果代回第一步的表达式：
$$I(m,n) = (-1)^m \cdot \frac{m!}{(n+1)^{m+1}}.$$
因此，所求积分为：
$$\boxed{I(m,n)=(-1)^m \frac{m!}{(n+1)^{m+1}}}.$$
公式：$I(m,n) = (-1)^m \frac{m!}{(n+1)^{m+1}}$
提示：最终结果中 $(-1)^m$ 来自 $\ln t$ 的符号，$m!$ 来自Gamma函数，分母 $(n+1)^{m+1}$ 来自变量替换的缩放因子。
步骤 5/5
目标：写出最终结果
因此，积分结果为
$$I(m,n) = \frac{(-1)^m m!}{(n+1)^{m+1}}, \quad m,n \in \mathbb{N}^*.$$
公式：$I(m,n)=\frac{(-1)^m m!}{(n+1)^{m+1}}$
提示：结果中 $(-1)^m$ 表明当 $m$ 为奇数时积分为负，偶数时为正。
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