东北大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
6．（15 分）证明：函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(n x \mathrm{e}^{-n x}-(n-1) x \mathrm{e}^{(n-1) x}\right)$ 在 $[0,1]$ 收敛但不一致收敛且在该区间连续．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：化简部分和
记通项为 $u_n(x) = n x e^{-n x} - (n-1) x e^{-(n-1) x}$，则部分和 $S_N(x) = \sum_{n=1}^N u_n(x)$ 为裂项相消形式。写出前几项：$n=1$ 时 $1\cdot x e^{-x} - 0$，$n=2$ 时 $2x e^{-2x} - 1x e^{-x}$，$n=3$ 时 $3x e^{-3x} - 2x e^{-2x}$，以此类推，中间项全部抵消，得到 $S_N(x) = N x e^{-N x}$。
公式：S_N(x) = N x e^{-N x}
提示：注意裂项相消时首项和末项的保留，不要遗漏。
步骤 2/4
目标：证明逐点收敛性
对固定的 $x \in [0,1]$：若 $x=0$，则 $S_N(0)=0$，极限为 $0$；若 $x>0$，则 $S_N(x) = N x e^{-N x} = \frac{N x}{e^{N x}}$，由于指数函数增长快于线性函数，当 $N \to \infty$ 时极限为 $0$。因此对每个 $x \in [0,1]$，$\lim_{N\to\infty} S_N(x)=0$，即级数逐点收敛到 $S(x)=0$。
公式：\lim_{N\to\infty} N x e^{-N x} = 0, \quad \forall x \in [0,1]
提示：注意 $x=0$ 需单独讨论，避免 $0 \cdot \infty$ 的不定式。
步骤 3/4
目标：证明不一致收敛
一致收敛要求 $\sup_{x\in[0,1]} |S_N(x)-S(x)| = \sup_{x\in[0,1]} N x e^{-N x} \to 0$（$N\to\infty$）。考虑函数 $f_N(x)=N x e^{-N x}$ 在 $[0,1]$ 上的最大值。求导得 $f_N'(x)=N e^{-N x}(1-N x)$，令导数为零得 $x=1/N$（当 $N>1$ 时在区间内部）。计算最大值 $f_N(1/N)=N \cdot \frac{1}{N} \cdot e^{-1}=e^{-1}$。因此 $\sup_{x\in[0,1]} |S_N(x)-0| = e^{-1} > 0$，不趋于 $0$，故级数不一致收敛。
公式：\sup_{x\in[0,1]} N x e^{-N x} = e^{-1} \not\to 0
提示：求最大值时注意临界点是否在区间内，并比较端点值（$x=0$ 和 $x=1$ 处值均小于 $e^{-1}$）。
步骤 4/4
目标：证明和函数的连续性
由逐点收敛结果，和函数 $S(x)=0$ 在 $[0,1]$ 上是常值函数，显然连续。尽管级数不一致收敛，但极限函数仍可连续，这并不矛盾，因为一致收敛是极限函数连续的充分非必要条件。
公式：S(x)=0, \quad x \in [0,1]
提示：注意区分：级数不一致收敛并不妨碍和函数连续，此处和函数为常数，连续性显然。
步骤 5/5
目标：总结结论
级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \left( n x e^{-n x} - (n-1) x e^{-(n-1) x} \right)$ 在 $[0,1]$ 上逐点收敛到 $0$，但不一致收敛，且和函数 $0$ 在 $[0,1]$ 上连续。
提示：注意区分逐点收敛与一致收敛。
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