东北师范大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
1．求极限： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{1^{2}+3^{2}+5^{2}+\cdots+(2 n-1)^{2}}{n^{3}}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：写出分子奇数的平方和表达式
分子是前 \(n\) 个奇数的平方和：\(1^2 + 3^2 + 5^2 + \cdots + (2n-1)^2\)。
公式：\sum_{k=1}^{n} (2k-1)^2
提示：注意项数为 \(n\)，最后一项是 \(2n-1\)。
步骤 2/8
目标：利用自然数平方和公式求全部前 \(2n\) 项的平方和
前 \(2n\) 个自然数的平方和为：\(1^2 + 2^2 + \cdots + (2n)^2 = \frac{2n(2n+1)(4n+1)}{6}\)。
公式：\sum_{k=1}^{2n} k^2 = \frac{2n(2n+1)(4n+1)}{6}
提示：公式中 \(m=2n\) 代入 \(\frac{m(m+1)(2m+1)}{6}\)。
步骤 3/8
目标：求偶数项的平方和
偶数项平方和：\(2^2 + 4^2 + \cdots + (2n)^2 = 4(1^2 + 2^2 + \cdots + n^2) = 4 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)。
公式：\sum_{k=1}^{n} (2k)^2 = \frac{4n(n+1)(2n+1)}{6}
提示：提取公因子 \(4\) 后利用自然数平方和公式。
步骤 4/8
目标：奇数平方和等于全部平方和减去偶数平方和
设 \(S_{\text{odd}} = \frac{2n(2n+1)(4n+1)}{6} - \frac{4n(n+1)(2n+1)}{6}\)。
公式：S_{\text{odd}} = \frac{2n(2n+1)(4n+1) - 4n(n+1)(2n+1)}{6}
提示：分母相同，直接合并分子。
步骤 5/8
目标：化简分子，提取公因式
提取公因式 \(\frac{2n+1}{6}\)：\(S_{\text{odd}} = \frac{2n+1}{6} [2n(4n+1) - 4n(n+1)]\)。
公式：S_{\text{odd}} = \frac{2n+1}{6} \cdot [8n^2 + 2n - (4n^2 + 4n)]
提示：注意括号内计算要仔细。
步骤 6/8
目标：继续化简得到奇数平方和公式
括号内化简为 \(4n^2 - 2n = 2n(2n-1)\)，所以 \(S_{\text{odd}} = \frac{2n+1}{6} \cdot 2n(2n-1) = \frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}\)。
公式：S_{\text{odd}} = \frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}
提示：这是前 \(n\) 个奇数平方和的封闭形式。
步骤 7/8
目标：代入极限表达式并化简
原极限 \(\lim_{n \to \infty} \frac{S_{\text{odd}}}{n^3} = \lim_{n \to \infty} \frac{n(2n-1)(2n+1)}{3n^3} = \lim_{n \to \infty} \frac{(2n-1)(2n+1)}{3n^2}\)。
公式：\lim_{n \to \infty} \frac{(2n-1)(2n+1)}{3n^2}
提示：约去一个 \(n\)。
步骤 8/8
目标：展开分子并求极限
分子展开得 \(4n^2 - 1\)，所以 \(\frac{4n^2 - 1}{3n^2} = \frac{4}{3} - \frac{1}{3n^2}\)，当 \(n \to \infty\) 时，\(\frac{1}{3n^2} \to 0\)，极限为 \(\frac{4}{3}\)。
公式：\lim_{n \to \infty} \left(\frac{4}{3} - \frac{1}{3n^2}\right) = \frac{4}{3}
提示：注意 \(\frac{1}{n^2}\) 趋于 0。
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