📝 东北师范大学 2023年数学分析真题

1．求极限： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{1^{2}+3^{2}+5^{2}+\cdots+(2 n-1)^{2}}{n^{3}}$ ．

2、求极限： $\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\sqrt[6]{x^{6}+x^{5}}-\sqrt[6]{x^{6}-x^{5}}\right)$ ．

3．求极限： $\displaystyle \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{1-\cos \sqrt{x^{2}+y^{2}}}{\tan \left(x^{2}+y^{2}\right)}$ ．

4、计算第一型曲线积分： $\int_{L}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} s$ ，其中 $L$ 为螺旋线 $x=a \cos t, y=a \sin t, z=b t$ 上相应于 $t$ 从 0 到 $2 \pi$ 的一段弧．

5、计算定积分： $\displaystyle \int_{0}^{1}\left(\frac{1}{t}-\left[\frac{1}{t}\right]\right) \mathrm{d} t$ ，其中 $[\cdot]$ 为取整．

七、证明：当 $\displaystyle x>0$ 时，有

$$
\ln \sqrt{x}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2 n-1}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{2 n-1}
$$

并讨论级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2 n-1}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{2 n-1}$ 关于 $\displaystyle x \in(0,+\infty)$ 是否一致收敛。

三、计算曲线积分 $\displaystyle \int_{L} e^{x}(1-\cos y) \mathrm{d} x+e^{x}(\sin y-y) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle L: y=\sin x$ 在 $\displaystyle x \in[0, \pi]$ 的一段，方向由 $\displaystyle (\pi, 0)$ 指向 $\displaystyle (0,0)$ ．

九、已知函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可微，又 $\displaystyle f(0)=0$ ，且对 $\displaystyle \forall x \in[0,1]$ ，有

$$
\left|f^{\prime}(x)\right| \leq M|f(x)| \text {, 其中 } M \text { 为非负常数. }
$$

证明：$\displaystyle f(x) \equiv 0, \forall x \in[0,1]$ ．

二、已知 $\displaystyle u=u(x, y, z), v=v(x, y, z), w=w(x, y, z)$ ，由 $\displaystyle x=u+v+w, y=u v+u w+v w, z=u v w$.
所确定的，求 $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial z}$ ．

五、设函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上是严格单调的，又序列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\} \subset[a, b]$ ，使得

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)=f(a),
$$

求证： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a$ ．

八、若函数 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在区间 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内连续，且

$$
\lim _{x \rightarrow \infty}(f(x)-g(x))=0 .
$$

证明：函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内一致连续的充要条件是 $\displaystyle g(x)$在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内一致连续．

六、若正项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 满足

$$
\left|x_{n+1}-x_{n}\right| \leq a_{n}, \forall n \geq 1 .
$$

证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收玫。

四、设函数 $\displaystyle y=y(x)$ 是由方程 $\displaystyle y^{2}-x+\sin y=0,(x \geq 1)$ 所确定的隐函数，且 $\displaystyle y=y(x)$ 经过点 $\displaystyle \left(\pi^{2}, \pi\right)$ ，试讨论 $\displaystyle y(x)$ 在 $\displaystyle (1,+\infty)$ 的零点个数．求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{y(x)}{x}$ ．