东北师范大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
5、计算定积分： $\displaystyle \int_{0}^{1}\left(\frac{1}{t}-\left[\frac{1}{t}\right]\right) \mathrm{d} t$ ，其中 $[\cdot]$ 为取整．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：换元简化积分
令 $u = \frac{1}{t}$，则当 $t \to 0^+$ 时，$u \to +\infty$；当 $t=1$ 时，$u=1$。且 $t = \frac{1}{u}$，$\mathrm{d}t = -\frac{1}{u^2} \mathrm{d}u$。原积分变为：
$$
\int_{0}^{1} \left( \frac{1}{t} - \left[ \frac{1}{t} \right] \right) \mathrm{d}t = \int_{+\infty}^{1} (u - [u]) \left( -\frac{1}{u^2} \right) \mathrm{d}u = \int_{1}^{+\infty} \frac{u - [u]}{u^2} \mathrm{d}u
$$
公式：\int_{0}^{1} \left( \frac{1}{t} - \left[ \frac{1}{t} \right] \right) \mathrm{d}t = \int_{1}^{+\infty} \frac{u - [u]}{u^2} \mathrm{d}u
提示：注意换元时积分限的变化，以及负号的处理，避免符号错误。
步骤 2/6
目标：将积分转化为无穷级数求和
对于正整数 $n$，当 $u \in [n, n+1)$ 时，$[u] = n$，所以 $u - [u] = u - n$。于是积分可写为：
$$
\int_{1}^{\infty} \frac{u - [u]}{u^2} \mathrm{d}u = \sum_{n=1}^{\infty} \int_{n}^{n+1} \frac{u - n}{u^2} \mathrm{d}u
$$
公式：\int_{1}^{\infty} \frac{u - [u]}{u^2} \mathrm{d}u = \sum_{n=1}^{\infty} \int_{n}^{n+1} \frac{u - n}{u^2} \mathrm{d}u
提示：注意取整函数的分段性质，确保每个区间内表达式正确。
步骤 3/6
目标：计算每个小区间的积分
对于固定的 $n$：
$$
\int_{n}^{n+1} \frac{u - n}{u^2} \mathrm{d}u = \int_{n}^{n+1} \left( \frac{1}{u} - \frac{n}{u^2} \right) \mathrm{d}u = \left[ \ln u + \frac{n}{u} \right]_{n}^{n+1}
$$
代入上下限得：
$$
= \left( \ln(n+1) + \frac{n}{n+1} \right) - \left( \ln n + 1 \right) = \ln\frac{n+1}{n} + \frac{n}{n+1} - 1
$$
公式：\int_{n}^{n+1} \frac{u - n}{u^2} \mathrm{d}u = \ln\frac{n+1}{n} + \frac{n}{n+1} - 1
提示：计算定积分时注意原函数的正确性，特别是 $\frac{n}{u}$ 的积分结果。
步骤 4/6
目标：写出部分和并化简
原积分 $I = \sum_{n=1}^{\infty} \left( \ln\frac{n+1}{n} + \frac{n}{n+1} - 1 \right)$。考虑部分和 $S_N = \sum_{n=1}^{N} \left( \ln\frac{n+1}{n} + \frac{n}{n+1} - 1 \right)$。
第一个求和是 telescoping：$\sum_{n=1}^{N} \ln\frac{n+1}{n} = \ln(N+1)$。
第二个求和：$\sum_{n=1}^{N} \frac{n}{n+1} = \sum_{n=1}^{N} \left(1 - \frac{1}{n+1}\right) = N - \sum_{n=1}^{N} \frac{1}{n+1}$。
第三个求和：$\sum_{n=1}^{N} 1 = N$。
因此：
$$
S_N = \ln(N+1) + \left(N - \sum_{n=1}^{N} \frac{1}{n+1}\right) - N = \ln(N+1) - \sum_{n=1}^{N} \frac{1}{n+1}
$$
公式：S_N = \ln(N+1) - \sum_{n=1}^{N} \frac{1}{n+1}
提示：注意部分和不能直接拆成三个发散级数，必须整体处理。
步骤 5/6
目标：用调和数表示部分和
记调和数 $H_k = 1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{k}$，则 $\sum_{n=1}^{N} \frac{1}{n+1} = H_{N+1} - 1$。代入得：
$$
S_N = \ln(N+1) - (H_{N+1} - 1) = 1 + \ln(N+1) - H_{N+1}
$$
公式：S_N = 1 + \ln(N+1) - H_{N+1}
提示：注意调和数的下标与求和范围的关系，避免混淆。
步骤 6/6
目标：取极限得到最终结果
利用调和数的渐近公式 $H_m = \ln m + \gamma + o(1)$，其中 $\gamma$ 是欧拉常数。则：
$$
\lim_{N\to\infty} S_N = 1 + \lim_{N\to\infty} \left( \ln(N+1) - (\ln(N+1) + \gamma) \right) = 1 - \gamma
$$
因此原积分值为 $1 - \gamma$。
公式：\int_{0}^{1} \left( \frac{1}{t} - \left[ \frac{1}{t} \right] \right) \mathrm{d}t = 1 - \gamma
提示：极限计算时注意调和数与对数的差收敛于欧拉常数，这是关键步骤。
步骤 7/7
目标：得出最终结果
因此原定积分的值为 $1 - \gamma$。
提示：最终结果是一个常数，与欧拉常数有关。
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