东北师范大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
五、设函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上是严格单调的，又序列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\} \subset[a, b]$ ，使得
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)=f(a),
$$
求证： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确函数单调性方向，简化证明
由于函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上严格单调，不妨先假设 $f(x)$ 严格单调递增。若为严格单调递减，可通过考虑 $-f(x)$ 转化为递增情形，结论同样成立。
公式：若 $x_1 < x_2$，则 $f(x_1) < f(x_2)$（严格递增）
提示：严格单调包括严格递增和严格递减，证明时只需处理一种情形，另一种可对称得到。
步骤 2/5
目标：利用严格单调性建立函数值与自变量的大小关系
因为 $f$ 严格递增，对任意 $x \in [a,b]$，有：若 $x > a$，则 $f(x) > f(a)$；若 $x = a$，则 $f(x) = f(a)$。因此，对于序列 $\{x_n\}$ 中的项，如果 $x_n > a$，则必有 $f(x_n) > f(a)$。
公式：$x_n > a \Rightarrow f(x_n) > f(a)$
提示：注意区间左端点为 $a$，不存在 $x_n < a$ 的情况。
步骤 3/5
目标：用极限定义写出已知条件
已知 $\lim_{n \to \infty} f(x_n) = f(a)$，由极限定义：对任意 $\varepsilon > 0$，存在正整数 $N$，使得当 $n > N$ 时，有 $|f(x_n) - f(a)| < \varepsilon$。
公式：$\forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n > N: |f(x_n) - f(a)| < \varepsilon$
提示：这里不需要函数连续，仅需极限定义即可。
步骤 4/5
目标：反证法假设 $x_n$ 不趋于 $a$，导出矛盾
假设 $\lim_{n \to \infty} x_n \neq a$，则存在 $\delta > 0$ 和一个子列 $\{x_{n_k}\}$，使得 $x_{n_k} \ge a + \delta$。由严格递增性，$f(x_{n_k}) \ge f(a+\delta) > f(a)$。令 $\eta = f(a+\delta) - f(a) > 0$，则对所有 $k$，有 $f(x_{n_k}) - f(a) \ge \eta$。这与 $f(x_n) \to f(a)$ 矛盾，因为极限要求差值最终小于任意正数，而这里始终不小于固定的正数 $\eta$。
公式：$x_{n_k} \ge a+\delta \Rightarrow f(x_{n_k}) - f(a) \ge \eta > 0$
提示：反证法是处理极限不收敛到某点的常用方法，注意子列的选取。
步骤 5/5
目标：得出矛盾后确认结论
由于假设 $x_n$ 不趋于 $a$ 导致矛盾，故必有 $\lim_{n \to \infty} x_n = a$。对于严格递减的情形，考虑 $-f(x)$ 为严格递增，且 $\lim (-f(x_n)) = -f(a)$，同理可得 $x_n \to a$。
公式：$\lim_{n \to \infty} x_n = a$
提示：递减情形只需转化为递增即可，无需重复证明。
步骤 6/6
目标：处理严格单调递减的情形
若 $f$ 严格单调递减，可考虑函数 $g(x) = -f(x)$，则 $g$ 严格单调递增，且 $\lim_{n \to \infty} g(x_n) = -f(a) = g(a)$。由已证结论得 $\lim_{n \to \infty} x_n = a$。或者直接类似证明：当 $x_n \ge a+\delta$ 时，递减性给出 $f(x_n) \le f(a+\delta) < f(a)$，同样可导出矛盾。
公式：$g(x) = -f(x)$ 将递减转化为递增
提示：转化法是处理单调性问题的常用技巧，注意符号变化后极限值也相应变化。
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