东北师范大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
八、若函数 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在区间 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内连续，且
$$
\lim _{x \rightarrow \infty}(f(x)-g(x))=0 .
$$
证明：函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内一致连续的充要条件是 $\displaystyle g(x)$在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内一致连续．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确已知条件与证明目标
已知 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在 $(-\infty, +\infty)$ 上连续，且 $\lim_{x \to \infty} (f(x) - g(x)) = 0$（这里 $x \to \infty$ 理解为 $|x| \to \infty$）。需要证明：$f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上一致连续的充要条件是 $g(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上一致连续。
公式：\lim_{|x| \to \infty} (f(x) - g(x)) = 0
提示：注意极限条件对正负无穷均成立，这是后续将无穷远点对控制住的关键。
步骤 2/5
目标：回忆一致连续的定义并利用极限条件
函数 $h(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上一致连续：$\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0$，使得 $\forall x_1, x_2 \in \mathbb{R}$，若 $|x_1 - x_2| < \delta$，则 $|h(x_1) - h(x_2)| < \varepsilon$。由极限条件，对任意 $\varepsilon_1 > 0$，存在 $M > 0$，当 $|x| > M$ 时，$|f(x) - g(x)| < \varepsilon_1$。
公式：|f(x) - g(x)| < \varepsilon_1 \quad (|x| > M)
提示：M 的存在性依赖于极限定义，后续常取 $\varepsilon_1 = \varepsilon/3$。
步骤 3/5
目标：证明充分性：若 g 一致连续，则 f 一致连续
任取 $\varepsilon > 0$。取 $\varepsilon_1 = \varepsilon/3$，存在 $M > 0$ 使得当 $|x| > M$ 时 $|f(x)-g(x)| < \varepsilon/3$。由于 $g$ 一致连续，存在 $\delta_1 > 0$，当 $|x_1-x_2| < \delta_1$ 时 $|g(x_1)-g(x_2)| < \varepsilon/3$。令 $K = M+1$，$f$ 在闭区间 $[-K, K]$ 上连续，从而一致连续，存在 $\delta_2 > 0$ 适用于该区间。取 $\delta = \min(\delta_1, \delta_2, 1)$。对任意 $x_1, x_2$ 满足 $|x_1-x_2| < \delta$，分两种情况：
- 若 $x_1, x_2 \in [-K, K]$，由闭区间一致连续得 $|f(x_1)-f(x_2)| < \varepsilon$；
- 否则，必有 $|x_1| > M$ 且 $|x_2| > M$（因为若有一点在 $[-M, M]$ 内，另一点距离小于1，则另一点必在 $[-K, K]$ 内，矛盾），此时利用三角不等式：
$|f(x_1)-f(x_2)| \leq |f(x_1)-g(x_1)| + |g(x_1)-g(x_2)| + |g(x_2)-f(x_2)| < \varepsilon/3 + \varepsilon/3 + \varepsilon/3 = \varepsilon$。
因此 $f$ 一致连续。
公式：|f(x_1)-f(x_2)| \leq |f(x_1)-g(x_1)| + |g(x_1)-g(x_2)| + |g(x_2)-f(x_2)|
提示：注意构造 $K = M+1$ 是为了处理一点在内部一点在边界附近的情况，确保所有距离小于 $\delta$ 的点对要么全在大区间外，要么全在闭区间内。
步骤 4/5
目标：证明必要性：若 f 一致连续，则 g 一致连续
由条件 $\lim_{|x| \to \infty} (g(x) - f(x)) = 0$ 同样成立，且 $f$ 与 $g$ 的角色对称。将充分性证明中的 $f$ 与 $g$ 互换，完全同理可得 $g$ 一致连续。
公式：\lim_{|x| \to \infty} (g(x) - f(x)) = 0
提示：对称性是本题的关键，无需重复构造细节。
步骤 5/5
目标：总结结论
综合充分性与必要性，$f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上一致连续的充要条件是 $g(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上一致连续。证毕。
提示：该结论依赖于两函数在无穷远处无限接近这一条件，若极限不存在或不趋于0，结论不成立。
步骤 6/6
目标：总结结论
在给定条件下，通过一致连续的定义、极限条件以及闭区间上连续函数的一致连续性，分情况讨论并利用三角不等式，证明了 $f$ 在 $\mathbb{R}$ 上一致连续当且仅当 $g$ 在 $\mathbb{R}$ 上一致连续。
公式：无
提示：证明的关键在于利用极限条件将远点处的差控制住，并借助闭区间上的性质处理有限区域。
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