东北师范大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
七、证明：当 $\displaystyle x>0$ 时，有
$$
\ln \sqrt{x}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2 n-1}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{2 n-1}
$$
并讨论级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2 n-1}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{2 n-1}$ 关于 $\displaystyle x \in(0,+\infty)$ 是否一致收敛。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将待证等式转化为对数形式
注意到 $\ln \sqrt{x} = \frac{1}{2} \ln x$，因此原等式等价于证明：
$$
\frac{1}{2} \ln x = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2n-1} \left( \frac{x-1}{x+1} \right)^{2n-1}, \quad x>0.
$$
公式：$$\ln \sqrt{x} = \frac12 \ln x$$
提示：不要忽略对数恒等式的使用，这是简化问题的关键第一步。
步骤 2/5
目标：回忆反双曲正切函数的级数展开与对数表示
反双曲正切函数 $\operatorname{artanh} t$ 对于 $|t|<1$ 有幂级数展开：
$$
\operatorname{artanh} t = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{t^{2n+1}}{2n+1} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{t^{2n-1}}{2n-1}.
$$
同时，它也可以用对数表示为：
$$
\operatorname{artanh} t = \frac12 \ln \frac{1+t}{1-t}, \quad |t|<1.
$$
公式：$$\operatorname{artanh} t = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{t^{2n-1}}{2n-1} = \frac12 \ln \frac{1+t}{1-t}$$
提示：注意级数中指数为奇数，且首项对应 $n=1$ 时 $t^1$。
步骤 3/5
目标：变量代换，将 $\frac12 \ln x$ 与反双曲正切函数联系起来
令 $t = \frac{x-1}{x+1}$。当 $x>0$ 时，$|t|<1$ 恒成立。计算：
$$
\frac{1+t}{1-t} = \frac{1+\frac{x-1}{x+1}}{1-\frac{x-1}{x+1}} = \frac{\frac{x+1+x-1}{x+1}}{\frac{x+1-(x-1)}{x+1}} = \frac{2x}{2} = x.
$$
因此，
$$
\operatorname{artanh}\left( \frac{x-1}{x+1} \right) = \frac12 \ln x.
$$
公式：$$t = \frac{x-1}{x+1}, \quad \frac{1+t}{1-t}=x$$
提示：验证 $|t|<1$ 的条件：$x>0$ 时 $|x-1|
步骤 4/5
目标：代入级数形式，完成等式证明
将 $t = \frac{x-1}{x+1}$ 代入反双曲正切的级数展开式，得到：
$$
\frac12 \ln x = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2n-1} \left( \frac{x-1}{x+1} \right)^{2n-1}.
$$
两边同时取指数函数的对数形式，即得原式：
$$
\ln \sqrt{x} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2n-1} \left( \frac{x-1}{x+1} \right)^{2n-1}.
$$
等式得证。
公式：$$\frac12 \ln x = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2n-1} \left( \frac{x-1}{x+1} \right)^{2n-1}$$
提示：注意级数求和指标从 $n=1$ 开始，与反双曲正切展开式一致。
步骤 5/5
目标：分析级数在 $(0,+\infty)$ 上的一致收敛性
考虑函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)$，其中 $u_n(x) = \frac{1}{2n-1} \left( \frac{x-1}{x+1} \right)^{2n-1}$。
当 $x \to 0^+$ 时，$\frac{x-1}{x+1} \to -1$，通项 $u_n(x) \to \frac{(-1)^{2n-1}}{2n-1} = -\frac{1}{2n-1}$，级数变为交错调和级数，条件收敛，但收敛速度在端点附近变慢。
当 $x \to +\infty$ 时，$\frac{x-1}{x+1} \to 1^-$，通项 $u_n(x) \to \frac{1}{2n-1}$，此时级数发散（因为 $\sum \frac{1}{2n-1}$ 发散）。这意味着对于任意固定的 $N$，当 $x$ 充分大时，余项 $\sum_{n=N+1}^{\infty} u_n(x)$ 可以任意大，无法找到统一的 $N$ 使余项对一切 $x>0$ 都小于给定的 $\varepsilon$。
因此，该级数在 $(0,+\infty)$ 上不一致收敛。
公式：$$\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{x-1}{x+1} \right)^{2n-1} = 1, \quad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2n-1} \text{ 发散}$$
提示：一致收敛要求余项能被统一控制，而 $x$ 趋近于无穷时级数趋近于发散级数，破坏了一致收敛性。
步骤 6/6
目标：总结结论
证明完成，一致收敛性结论为：级数在 $(0,+\infty)$ 上不一致收敛，但在任意不包含 0 和无穷远的闭区间上内闭一致收敛。
提示：注意区分整体一致收敛与内闭一致收敛。
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