东北师范大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
4、计算第一型曲线积分： $\int_{L}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} s$ ，其中 $L$ 为螺旋线 $x=a \cos t, y=a \sin t, z=b t$ 上相应于 $t$ 从 0 到 $2 \pi$ 的一段弧．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：写出曲线参数方程与弧微分公式
已知螺旋线的参数方程为：
\[ x = a\cos t,\quad y = a\sin t,\quad z = bt,\quad t\in[0,2\pi] \]
弧长微元为：
\[ ds = \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dz}{dt}\right)^2}\, dt \]
分别求导：
\[ \frac{dx}{dt} = -a\sin t,\quad \frac{dy}{dt} = a\cos t,\quad \frac{dz}{dt} = b \]
计算平方和：
\[ \left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dz}{dt}\right)^2 = a^2\sin^2 t + a^2\cos^2 t + b^2 = a^2 + b^2 \]
因此：
\[ ds = \sqrt{a^2 + b^2}\, dt \]
公式：ds = \sqrt{a^2+b^2}\, dt
提示：注意弧微分公式中各项平方和要化简，不要遗漏常数项。
步骤 2/5
目标：将被积函数用参数表示
被积函数为：
\[ x^2 + y^2 + z^2 = (a\cos t)^2 + (a\sin t)^2 + (b t)^2 = a^2\cos^2 t + a^2\sin^2 t + b^2 t^2 = a^2 + b^2 t^2 \]
公式：x^2+y^2+z^2 = a^2 + b^2 t^2
提示：利用三角恒等式 \cos^2 t + \sin^2 t = 1 简化。
步骤 3/5
目标：将曲线积分化为定积分
将参数表达式和弧微分代入第一型曲线积分：
\[ \int_{L} (x^2+y^2+z^2)\, ds = \int_{t=0}^{2\pi} (a^2 + b^2 t^2) \cdot \sqrt{a^2+b^2}\, dt \]
常数因子 \sqrt{a^2+b^2} 可提到积分号外：
\[ = \sqrt{a^2+b^2} \int_{0}^{2\pi} (a^2 + b^2 t^2)\, dt \]
公式：\int_{L} (x^2+y^2+z^2)\, ds = \sqrt{a^2+b^2} \int_{0}^{2\pi} (a^2 + b^2 t^2)\, dt
提示：注意积分限对应参数t的范围，不要搞错。
步骤 4/5
目标：计算定积分
分别计算两项积分：
\[ \int_{0}^{2\pi} a^2\, dt = a^2 \cdot 2\pi \]
\[ \int_{0}^{2\pi} b^2 t^2\, dt = b^2 \cdot \left[ \frac{t^3}{3} \right]_{0}^{2\pi} = b^2 \cdot \frac{(2\pi)^3}{3} = \frac{8\pi^3 b^2}{3} \]
相加得：
\[ \int_{0}^{2\pi} (a^2 + b^2 t^2)\, dt = 2\pi a^2 + \frac{8\pi^3 b^2}{3} \]
公式：\int_{0}^{2\pi} (a^2 + b^2 t^2)\, dt = 2\pi a^2 + \frac{8\pi^3 b^2}{3}
提示：计算 t^2 的积分时注意幂函数积分公式，代入上下限要仔细。
步骤 5/5
目标：乘上系数并化简得到最终结果
将定积分结果乘以 \sqrt{a^2+b^2}：
\[ \text{积分值} = \sqrt{a^2+b^2} \left( 2\pi a^2 + \frac{8\pi^3 b^2}{3} \right) \]
提取公因子 \2\pi\：
\[ = 2\pi \sqrt{a^2+b^2} \left( a^2 + \frac{4\pi^2 b^2}{3} \right) \]
因此最终答案为：
\[ \boxed{2\pi \sqrt{a^2+b^2} \left( a^2 + \frac{4\pi^2 b^2}{3} \right)} \]
公式：\boxed{2\pi \sqrt{a^2+b^2} \left( a^2 + \frac{4\pi^2 b^2}{3} \right)}
提示：化简时注意提取公因子，确保结果简洁。
步骤 6/6
目标：乘上系数并化简得到最终结果
最终积分值为：
\[ \sqrt{a^2 + b^2} \left( 2\pi a^2 + \frac{8\pi^3 b^2}{3} \right) \]
提取公因子 \(2\pi\)：
\[ = 2\pi \sqrt{a^2 + b^2} \left( a^2 + \frac{4\pi^2 b^2}{3} \right) \]
公式：\int_L (x^2+y^2+z^2)\, ds = 2\pi \sqrt{a^2+b^2}\left(a^2+\frac{4\pi^2 b^2}{3}\right)
提示：最终结果可以写成多种形式，但通常提取公因子更简洁。
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